1.6 利用三角函数测高（教学设计）数学北师大版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦“利用三角函数测高”核心内容，涵盖底部可到达与不可到达两种测高情形，通过知识回顾与现实建筑测高情境导入，衔接已学三角函数和解直角三角形知识，搭建理论到实践的学习支架。 亮点在于实践与思维融合，自制测倾器培养数学眼光，数据矫正提升推理能力，两次测仰角建模强化模型意识，分层练习适配教学需求，助力学生发展应用意识，教师可直接借鉴完整流程与实例提升教学效率。

1.6 利用三角函数测高 教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版九年级下册第1章“直角三角形的边角关系”中的“1.6 利用三角函数测高”内容，核心在于通过构建直角三角形模型并借助、、等三角函数关系，测量物体高度或水平距离，涵盖“底部可到达”与“底部不可到达”两种情形。 2.内容解析 教材基于实际测量问题，引导学生自制测倾器、测量仰角或俯角、获取数据，再利用三角函数方程求解。其中“同角余角”“一次或两次测量仰角”以及“数据校正”是关键知识点。通过生活实例引出需求，逐步建立数学模型，体现数学与实践的结合价值。 1.教学目标 •能够设计活动方案、自制测倾器并运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告。 •能够对所得的数据进行整理、分析和矫正。 •能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。 2.目标解析 • 强调实践与操作，培养学生动手能力。 • 关注对测量结果的分析与修正，深化数据处理意识。 • 要求学生综合应用三角函数与方程思想，提升模型建构与问题解决能力。 3.重点难点 • 教学重点：对测量数据进行整理、分析和矫正。 • 教学难点：将真实场景转化为可解的三角模型，并利用多次测量及方程求得目标高度。 学生已掌握基本的三角函数概念与解直角三角形的方法，但对实际测量情境下的数据处理和误差分析经验不足；能理解仰角、俯角及相关边角关系，但在多次测角、列方程建模和测量误差综合处理方面仍需教师引导与示范。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 利用三角函数解决实际问题的步骤： 2.情景引入 如果不告诉你这些建筑的高度，你能根据我们所学的数学知识测出它们的高度吗？ 现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题. 【设计意图】旨在通过真实情境（高大建筑无法直接测量高度）激发学生好奇心，让学生感受到直角三角形边角关系在现实生活中的价值，并回顾三角函数解决实际问题的总体思路，为后续探究做好铺垫。 探究点1：测量倾斜角 1.想一想 （1）在测塔的高度时，会用到了哪些仪器? 有何用途? 解：要用到测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具. 测量倾斜角可以用测倾器，—简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. （2）使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？ 解：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: ①把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. ②转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. 2.议一议 根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由. 解：如图，目标M的仰角是30°. 理由是：同角的余角相等. 【设计意图】通过让学生亲自操作和小组讨论测倾器的使用方法，能让学生在感性经验的基础上熟悉“角”的测量，培养实践探究能力，为后续测高度打下基础。 探究点2：测量底部可以到达的物体的高度 1.想一想 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. (1)如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ 解：①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； ③量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）. (2)根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. 解：在Rt△MCE中，tanα=, ∴ME=CE∙tanα=AN∙tanα=l∙tanα, ∴MN=ME+EN=ME+AC=l∙tanα+a. 2.练一练 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，≈1.732)． 解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°， ∴AC＝CE·tan60°＝6×≈6×1.732≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)． 所以，旗杆AB的高度约为11.9米． 【设计意图】通过“小华测旗杆高度”的典型实例，让学生体验“可到达底部”的测量过程，并在环节中思考测倾器高度或人眼高度等因素对测量结果的修正，加深对公式 的应用理解。 探究点3：测量底部不可以到达的物体的高度 1.想一想 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. (1)如图，要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗？为什么？ 解：底部不可到达，则只测出一个仰角，无法直接解三角形.因此需向测量物体方向移动测倾器一定距离后，再测出一个仰角.借助两个角和测倾器移动距离即可解三角形，进而求出物体的高度. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: ①在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. ②在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β. ③量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b. (2)根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. 解：在Rt△MDE中，ED=, 在Rt△MCE中，EC =, ∴EC-ED=−=b， ∴ME=, ∴MN=. 2.练一练 如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到1米）（ ） A.1 366米 B. 1 482米 C. 1 296米 D. 1 508米 解：A 3.议一议 （1）到目前位置，你有哪些测量物体高度的方法？ 解：测量物体高度的方法有： （1）全等法；（2）相似法；（3）三角函数法. （2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离呢？ 解：可利用测倾器测量出该物体的仰角α（或俯角），利用物体高度和角α解三角形，即可求出某测点到该物体的水平距离. 4.典例分析 例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). 解：如图，过点E作EM⊥CD，交CD于点M, 根据题意，可知∠DEM=30°,BC=EM=30m, CM=BE=1.4m. 在Rt△DEM中， DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)， ∴CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m). ∴学校主楼的高度约为18.72m. 例2 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.） 解:如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， ∴ ∴BC=1000×tan25°≈466.3（m） ∴上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7≈468（m） 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 【设计意图】通过“单一仰角无法解出未知数太多”的思考，引导学生建立“两次测仰角”模型，帮助学生体会在实际复杂测量中，需要通过位移或增加已知量来保证方程可解。同时让学生进一步运用三角函数知识，深化对直角三角形边角关系的掌握。 1．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为( ) (sin37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan37°≈0.75) A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米 解：D． 2.如图，在高CD为60 m的小山上，若测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为（ ） A.20 m B.30 m C.40 m D. 50 m 解：C． 3.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB =______米. 解：80. 4.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 ______米. 解：7+． 5. 某公园一塔的塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米。其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为_____米.(≈1.73，结果精确到 0.1) 解：24.1. 6.如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小颖的眼睛与地面的距离)，那么树高是__________m. 解：+. 7.目前我国最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）. 解: （1）由题意，AC＝AB＝610（米）； （2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝, ∴BE＝DEtan39°， ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米） ∴大楼的高度CD约为116米. 8.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB＝80米.为测量居民楼与这座大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．(结果保留整数)（参考数据 : ） 解：设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan37°=，即=, ∴AD=x. 在Rt△BCD，tan48°= BD/CD，即=, ∴BD=x. ∵AD＋BD = AB，∴x+x=80, 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． 【设计意图】通过商场扶梯、山体建筑测量等8道习题，覆盖仰角俯角、影子测量等核心题型，适配三角函数基础应用与综合计算训练。既巩固sin、cos、tan的定义及运算，又培养将实际问题转化为直角三角形模型的建模能力，提升运用数学知识解决高度、距离测量类实际问题的核心素养。 主板书 1.6 利用三角函数测高 探究点1 测量倾斜角 探究点 2 测量底部可以到达的物体的高度 探究点3 测量底部不可以到达的物体的高度 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.6第1-2题。 2. 探究性作业：习题1.6第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $