精品解析：吉林省长春市第六中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试（4月）数学试题

长春市第六中学高二下学期第一学程考试 数学试题 满分：150分 答题时间：120分钟 命题人：赵佳娜 审题人：徐丽丽 王丽华 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在本次大阅读活动中增设了“游园会”中“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有（ ）． A. 9种 B. 11种 C. 20种 D. 99种 2. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 3. 设双曲线C的方程为，若C的一条渐近线的斜率为，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 4. 数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ） A 80 B. 90 C. 100 D. 110 7. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( ) A. B. C. D. 8. 若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列求导运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 面积的最大值为25 C. 的最小值为1 D. 椭圆C的离心率为 11. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有__________种． 13. 已知数列的前项和为，，，则______. 14. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的最小值． 16. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值; 17. 已知数列满足，数列是以2为首项2为公差的等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，，，设直线的斜率分别为． （i）若，求； （ii）证明：为定值． 19. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春市第六中学高二下学期第一学程考试 数学试题 满分：150分 答题时间：120分钟 命题人：赵佳娜 审题人：徐丽丽 王丽华 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有（ ）． A. 9种 B. 11种 C. 20种 D. 99种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可解答. 【详解】由题意可得：先从高一年级11个学科素养展中任选一个学科，不同的选法有11种； 再从高二年级的9个学科素养展中任选一个学科，不同的选法有9种， 根据分步乘法计数原理可得：不同的选法共种.