第03讲 导数与函数的极值、最值(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 导数与函数的极值 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 解释 ① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； ② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和. ③ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质； ④ 对于极值还有特别强调一下，看例题： 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( ) A. 必有 B.不存在 C. 或不存在 D.存在但可能不为 解析：函数， ， 但时，时，； 故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数， 当时，； 当时，； 所以在处取到极值，但在导数不存在；故选. 总结 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，； ③ 定义很重要. 2 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 【题型1】 函数(导函数)图象与极值(点)的关系 【典题1】 (2020·浙江·二模)已知函数f(x)的定义域为D，其导函数为，函数的图象如图所示，则f(x)(    ) A．有极小值f(2)，极大值f(π) B．有极大值f(2)，极小值f(0) C．有极大值f(2)，无极小值 D．有极小值f(2)，无极大值 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是(    )      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. (2024·全国·高三专题练习)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是(    )    A．2为的极大值点 B．在区间上单调递增 C．为的极小值点 D．在区间上单调递增 3. (2024·全国·高三专题练习)如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是(    )    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 4. (2024·全国·高三专题练习)函数的图象如图所示，则下列结论成立的是(    )    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型2】 求不含函数的极值(点) 【典题1】(2024·云南楚雄·一模)将函数)的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则 ． 【典题2】 (2023·甘肃兰州·一模)已知函数的极值点为，函数的最大值为，则(    ) A． B． C． D． 【典题3】(2024·广东广州·一模)已知函数，. (1)求的单调区间和极小值； (2)证明：当时，. 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)函数的极小值点为(    ) A． B． C． D． 2. (多选) (2024·全国·模拟预测)已知函数，则(    ) A．在上单调递减 B．的极大值点为2 C．的极大值为 D．有2个零点 3. (2023·陕西西安·模拟预测)已知等差数列中，是函数的极大值点，则的值为(    ) A． B． C． D． 4.(2024·全国·模拟预测)设函数，记的极小值点为，极大值点为，则(    ) A．2 B． C． D． 5.(2023·河南洛阳·模拟预测)已知函数及其导函数的定义域均为，且，则(    ) A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点 C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点 6.(2024·湖南·二模)函数在范围内极值点的个数为 . 【题型3】 求含参函数的极值(点) 【典题1】(2024·广东汕头·一模)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1.(2024·广东肇庆·模拟预测)已知函数. (1)求的极值； (2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 2. (2024·全国·高三专题练习)已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)试讨论函数的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 3. (2024·云南红河·二模)已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)设函数，求的极值. 【题型4】 根据函数的极值(点)求参数 【典题1】 (2024·辽宁·一模)已知函数