第01讲 导数的概念及其运算(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第01讲 导数的概念及其运算 1 导数的概念 (1) 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，可用式子表示函数从到的平均变化率. (2) 瞬时变化率 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (3) 导数概念 函数在处的瞬时变化率是， 则称它为函数在处的导数，记作，即 (4) 导函数 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 2 基础初等函数的导数运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 (2)导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. (3)简单复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 3 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【题型1】 变化率的问题 【典题1】 (2023·上海闵行·二模)某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是(   )    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【典题2】(2024·广东·高三专题练习)已知，则的值为(    ) A．－2a B．2a C．a D． 【巩固练习】 1. (2024·广东·高三专题练习)若，则(    ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 2. (2024·全国·高三专题练习)如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(    )    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 3. (2024·全国·高三专题练习)为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是(    )    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 4. (2024·全国·高三专题练习)小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有(    ) A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 【题型2】 导数的运算 【典题1】 (多选) (2024·全国·高三专题练习)下列求导正确的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】(2024·全国·高三专题练习)已知函数满足，求在的导数(    ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)下列各式中正确的是(      ) A． B． C． D． 2. (2024·全国·高三专题练习)已知函数，则(   ) A． B． C． D． 3. (2024·全国·高三专题练习)已知函数是的导函数)，则(    ) A．1 B．2 C． D． 4. (2024·全国·高三专题练习)已知函数，其中为函数的导数，则 . 5.(2024·全国·模拟预测)已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 【题型3】 导数的几何意义 情况1 求在某点的切线方程 【典题1】 (2024·湖南常德·三模)已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ． 【典题2】(2024·广东·模拟预测)已知直线与曲线相切，则的最小值为(    ) A． B．1 C． D． 【巩固练习】 1. (2022·河南·一模)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则