第04讲 导数与函数的最值(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 导数与函数的最值 1 函数的最大(小)值 一般地, 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值与最小值 2函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3 函数的最值与极值的关系 ① ② 在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)； ③ ； ④ . 【题型1】 求不含参函数的最值 【典题1】 (2024·全国·模拟预测)若直线与函数的图象相切，则的最小值为(    ) A．e B． C． D． 【典题2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由． 【巩固练习】 1. (2024·宁夏吴忠·模拟预测)已知为常数)在上有最大值3，则函数在上的最小值为(    ) A． B． C． D． 2.(2024·陕西西安·二模)函数在上的最大值和最小值分别是(   ) A． B． C． D． 3.(2024·黑龙江齐齐哈尔·二模)已知函数的最小值为，则的最小值为(    ) A． B． C．0 D．1 4.(2024·湖南长沙·一模)已知直线与函数，的图象分别相交于，两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的最大值为(    ) A． B．1 C． D． 5.(2024·江苏·一模)已知，，则的最小值为 . 6.(2024·河北唐山·一模)已知函数，， (1)求曲线在点处的切线方程： (2)当时，求的值域． 【题型2】 求含参函数的最值 【典题1】 (2024·陕西西安·二模)已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的最大值； (3)是否存在实数a，使得对任意，都有？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由． 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)已知函数． (1)求的单调区间和极值；(2)求上的最小值． 2. (2024·湖北·高三专题练习)已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)是否存在使得在区间上的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由． 【题型3】根据函数最值求参数 【典题1】 (2024·广西南宁·一模)已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【典题2】 (2024·海南·模拟预测)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求的值. 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 . 2.(2023·四川资阳·模拟预测)若函数存在最小值，则的取值范围是 ． 3.(2023·广东·二模)已知函数的最小值为0，则a的值为 . 4.(2023·四川宜宾·三模)已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)若，的最小值是，求实数的取值范围. 【题型4】函数性质的综合运用 【典题1】 (多选)(2024·全国·模拟预测)已知函数，，下列结论正确的有(    ) A．函数有极大值，且极大值点 B． C．函数的最小值为2 D．若、分别是曲线，上的动点，则的最小值为 【巩固练习】 1. (2024·云南昆明·一模)已知函数，则下列说法正确的是(   ) A．为增函数 B．有两个零点 C．的最大值为2e D．的图象关于对称 2.(多选)(2024·云南红河·二模)已知函数，则下列选项中正确的是(    ) A． B．既有极大值又有极小值 C．若方程有4个根，则 D．若，则 3. (2024·全国·高三专题练习)设，，，其中e为自然对数的底数，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 4.(2024·全国·模拟预测)已知函数，则下列结论正确的是(    ) A．在区间上单调递减 B．在区间上有极小值 C．设在区间上的最大值为M，最小值为m，则 D．在区间内有且只有一个零点 5.(多选) (2024·全国·高三专题练习)已知函数，则下列说法正确的有 ( ) A．有唯一零点 B．无最大值 C．在区间上单调递增 D．为的一个极小值点 【题型5】 函数最值的应用 【典题1】 (多选)(2024·浙江温州·二模)已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部(包括边界)，记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则(    ) A．有最大值，但无最小值 B．最大时，球心在正四面体外 C．最大时，同时取到最