重难点04隐圆问题（三种模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）

重难点04隐圆问题（三种模型解读+典例剖析+培优争分练） 隐圆一般有如下呈现方式： （1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆； （2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。 （3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。 模型1：定点定长 【例1】．（2023春•怀远县月考）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 模型2：定弦定角 【例2】．（2023•定远县校级一模）如图，半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点．当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为 　　． 模型3：四点共圆 3．（2023•涡阳县二模）如图1，的内角和外角的平分线相交于点，平分并交于点． （1）求证：； （2）若，且，求， （3）如图2，过点作，垂足为，，其中，连接、，求． （建议用时：40分钟） 一．填空题（共8小题） 1．（2023秋•赣榆区月考）如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，则线段的最小值为 　　． 2．（2023春•宁波期中）如图，正方形的边长为6，点是边上一动点，点在边上，，则的最小值为 　　． 3．（2023•龙港市二模）在一次数学折纸实践活动中，某兴趣小组对一张如图1所示的三角形纸片进行折纸研究，中，，把对折使点落在的处，折痕为，点在上．铺平后如图2所示，在，上分别取，两点，先将沿着翻折得到△，再将沿着翻折得到△，然后把两次翻折后的纸片压平如图3，恰有．兴趣小组发现：把图3所折的纸片全部铺平如图4所示，可知　　；若，，则两块阴影部分的面积和为 　　． 4．（2023•黑龙江）如图，在中，，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值是 　　． 5．（2022秋•襄都区校级期末）如图1，在矩形中，，，，分别是边和的中点，若线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图2所示． （1）当线段绕点逆时针旋转时，线段的长　　； （2）如图3，连接，则长度的最小值是 　　． 6．（2023秋•常州期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 　　． 7．（2023秋•建邺区校级月考）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于，则的最大值为 　　． 8．（2023•新抚区模拟）如图，在中，，，，，连接，以为斜边在的右侧作等腰直角，是边上的一点，连接和，当，则长为 　　． 二．解答题（共8小题） 9．（2023秋•临潼区期末）提出问题 如图1，在，，为边的中点，连接．若，，则　　； 探究问题 如图2，在四边形，已知，求证：，，，四点共圆； 解决问题 某社区有如图3所示的直角三角形空地，其中，社区工作人员想在边上找一点栽种一棵树，并同时在和边上各自找一点和，修筑，，三条小路，并且要求，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路的长至少为，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点应该在边上，距点多少米处？ 10．（2023•梁园区校级三模）如图，矩形中，点为上一点，，点为直线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转交直线于点． （1）当为等腰直角三角形时， ①如图1，当点落在线段上时，试判断，，的数量关系 　　； ②如图2，当点落在射线上时，①中的结论是否变化，若不变，请证明．若变化，请说明理由； （2）如图3，若其他条件不变，中，，，，请直接写出的长． 11．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到　　． ②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：，，点在以为直径的圆上， 设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为 　　． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 　　． ②如图4，中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值． （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大