通关秘籍05 几何小题-截面与球（易错点+七大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍05 几何小题-截面与球 目录 【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测 【应试秘籍】总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：线面所成角的最值 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略 【题型一】截面最值 【题型二】 球截面 【题型三】 线面垂直型求外接球 【题型四】 面面垂直型 【题型五】 任意二面角定球心 【题型六】 内切球 【题型七】 棱切球型最值 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆☆☆ 考向预测 外接球、内切球、截面最值、轨迹相关问题 立体几何的考察主要会以截面、组合体外接球和内切球以及轨迹动点求最值等的形式来考察学生对于空间想象能力的考察，难度不小，一般会出现在选填的压轴题里，也有可能出现在多选以多个维度去考察。这里主要对各个题型进行总结，需要在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。 易错点：线面所成角的最值 1.三余弦定理： 设为面上一点，过的斜线在面上的射影为，为面上的一条直线，则 说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理. 2.三正弦定理： 设二面角的度数为，在平面上上有一条射线，它和棱所成角 为，和平面所成角为，则 说明：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值. 例（23-24高三上·广东深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 变式1：（2023·全国·模拟预测）已知长方体中，，，M为上一动点，当AM与所成角为45°时，三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型一】截面最值 求截面方法： 1. 平行线法： （1）利用两条平行线确定一个平面， （2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行 1. 相交线法： 1. 两条相交直线确定一个平面 1. 若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内 【例1】（多选）（2024·浙江·模拟预测）已知正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为 【例2】（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（    ） A．当最大时，与所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．若平面，则的最小值为 【例3】（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．    【变式1】（多选）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 【变式2】（23-24高三下·江西·开学考试）在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则 ；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则 ． 【变式3】（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ． 【题型二】 球截面 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。 【例1】（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．    【变式1】（2024·贵州毕节·一模）如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的