与圆有关的最值问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二 —人教版—数学选择性必修第一册—第二章 与圆有关的最值问题 一、学习目标： 认识圆的代数特征和几何特征，能利用这些特征解决一些与圆有关的最值问题，提高直观想象和逻辑推理核心素养． 解题思路与策略 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．圆的核心要素是圆心、半径．与圆有关的最值问题主要涉及一些几何量，例如距离、面积、角度等；我们应该如何研究呢？从最基本的几何元素入手研究以下两种关系： (1)点点关系；(2)点线关系． 二、学习与探究 admin (a) - 问题(1) 则｜OQ｜的最大值为____，最小值为_______ ． 解：如图，Q在圆上运动，可以发现，当OQ所在直线经过圆心C时， Q的两个不同位置分别使｜OQ｜取到最大值和最小值．圆的半径r为2,所以， ｜OQ｜最大值为｜OC｜+r=3+2=5, ｜OQ｜最小值为｜OC｜-r=3-2=1 ． 点点关系问题 改变点点关系中的点的位置，你还能提出什么问题？ 例题 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． 答案：5，1 ． 例题 已知圆C： ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点． 变式1：求圆上的动点到圆内的一定点的 距离的最值问题；（圆“外”改为圆“内”） 变式2：求圆上的动点到圆外的定直线的 距离的最值问题；（“定点”改为“定直线”） (留给同学们课后思考） 点线关系问题 例题 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． 问题(2) 若直线m: 3x-4y+12=0，则Q到直线m的距离的最小值____ ． 解：过Q作QP垂直于直线m，垂足是P，则所求为|PQ|. d为圆心C到直线m的距离． 所以｜PQ｜的最小值是d-r= ． 你会求｜PQ｜的最大值吗？ 答案：｜PQ｜的最大值是　 ． 答案 例题 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． 如果让直线上的点和圆上的点都动起来，就得到以下的问题(3) ． 例题 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． 问题(3) 若P在直线m: 3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是 ． 分析：P是直线上的动点，Q是圆上的动点，如何解决双动点问题呢？ 双动点问题 单动点问题 化归 例题 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． 问题(3) 若P在直线m: 3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是____ ． 方法一：P固定，Q运动；d为圆心C到直线m的距离． ｜PQ｜ |PC|-r=|PC|-2 d-2 = ≥ ≥ 答案： ． 例题 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． 问题(3) 若P在直线m: 3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是____． 方法二：先固定Q，P运动；d为圆心C到直线m的距离, h为Q到直线m的距离． ｜PQ｜ h d-r=d-2= ≥ ≥ 答案： ． 变式 已知圆C： ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点． P(１,3),H(0,t),当|PH|+|HQ|取最小值时，求t的值． 分析：H、Q都是动点，属于双动点问题；先让哪一个动点固定呢？其实让H或者Q先固定都可以解决． 解：先固定H，当Q运动时，|PH|是常数，|PH|+|HQ|最小值为|PH|+|HC|-2；在这种规律下，再让点H运动起来，问题转化为H在哪个位置，|PH|+|HC|有最小值的问题；这个问题就是指，在y轴上找一点H，使到|PH|+|HC|取最小值的问题，其中点P、C都是定点．这时，就可以用“将军饮马”模型来解决． 取P点关于y轴对称点G(-1,3), 则|PH|+|HC|=|GH|+|HC|，当且仅当G、H、C三点共线时，|GH|+|HC|有最小值，此时，由G、C的坐标可得直线GC的方程： 　 GC与y轴的交点为（0，　）， 所以，t = ． 例题 已知圆C： ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点． 把双动点改为双动直线，就能得到以下的新问题． 双动点问题 单动点问题 化归 例题 已知圆C： ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点． 问题(4)若P在直线m: 3x-4y+12=0上，过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B ，则四边形PACB面积的最小值为______ ． △PAC≌△PBC ∠PAC为直角 解：连接PC，则△PAC≌△PBC. 因为∠PAC为直角，所以 |PC|