2024年中考数学二轮专题复习——二次函数与平行四边形的综合

2024年中考数学二轮专题复习——二次函数与平行四边形的综合 1．如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式； (2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标； (3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数的图像与坐标轴分别交于点、、，，． (1)求二次函数表达式； (2)在第二象限内，线段上有一点，作平行于轴，交二次函数图像于点、（点在轴左侧），作点与点关于轴对称． ①证明：四边形为平行四边形； ②若是以为斜边的直角三角形，求点的横坐标； ③直角坐标系内存在点，使得四边形为平行四边形，请直接写出与的函数表达式，并求当线段的长度最大时，点的坐标． 3．如图，二次函数的图像与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为，为直线上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图，过点作，垂足为，连接．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，点也是直线上方抛物线上的一动点（点在点的左侧），分别过点，作轴的平行线，分别交直线于点，，连接．若四边形是平行四边形，且周长最大时，求的最大值及相应的点的横坐标． 4．已知，如图1，在平行四边形中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将平行四边形沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为，试确定S与的函数关系式，并求S的最大值； (3)连接，试求当平分时，四边形与四边形面积之比． 5．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且，，，顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 6．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求线段的长是多少？ (3)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值时多少？ (4)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的坐标． 7．如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．    (1)请直接写出点，，的坐标； (2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点，且. (1)求，，三点的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，若抛物线的对称轴与直线交于点，试探究，在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 9．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．    (1)求的面积； (2)如图2，点P是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B运动至点A，连接、，并以、为边作平行四边形． ①当平行四边形的面积为9时，求点P的坐标； ②直接写出在整个运动过程中，点Q与线段的最大距离是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 12．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，