精品解析：重庆市开州中学2024届高三下学期全国卷模拟考试（一）数学试题

开州中学2023-2024学年高2024届高三下期全国卷模拟考试数学试题（一） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数且有实数根b，则=（ ） A. B. 12 C. D. 20 3. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ） A. B. C. D. 4. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 在数列中，为其前n项和，首项，且函数导函数有唯一零点，则=（ ） A. 26 B. 63 C. 57 D. 25 7. 已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ） A. 斜率2 B. 斜率为 C. 恒过点 D. 恒过点 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 曲线的方程为 C. 圆与曲线有两个交点 D. 若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为 10. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 是周期函数 11. 定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则( ) A. 的图象关于对称 B. 4是的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______． 13. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为________. 14. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望________.（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记，分别为数列，的前项和，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值． 16. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据：，，， （1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）； （2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养