广西壮族自治区“贵百河”2024届高三下学期4月质量调研联考数学试题

2024届“贵百河”4月高三质量调研联考试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为，则该学生这8次成绩的分位数为（ ） A. 85 B. 85.5 C. 87 D. 88.5 4. 被除的余数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 6. 已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（ ） A. B. C. －3 D. 3 7. “升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（ ）（精确到） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ） A. B. C. e D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求．（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（ ） A. B. 锐角三角形 C. 的面积为 D. 的外接圆半径大于2 10. 如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接BM，翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 B. 棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABC C. 当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BC D. ∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B平面角 11. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则中点到轴距离为4 B. 弦的中点的轨迹为抛物线 C. 若，则直线的斜率 D. 的最小值等于9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，，则________． 13. 已知，则_________. 14. 设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜概率，求该场比赛甲获胜的概率. 17. 已知四棱锥中，，，，，， （1）求证： （2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 18. 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，. （1）求的方程； （2）过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点． （i）证明：点在定直线上： （ii）若直线与交于点，求证：． 19. 已知函数，若存在恒成立，则称是一个“下界函数”． （1）如果函数为的一个“下界函数”，求实数的取值范围； （2）设函数，试问函数是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由． 2024届“贵百河”4月高三质量调研联考试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应