精品解析：广东省深圳科学高中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年广东省深圳科学高中高二（下）期中数学试卷 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点分别是，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A. B. C. D. 4. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且的前项的和记为，则（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 10. 已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若互斥，则 D 若独立，则 11. 如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ） A. 存在唯一点，使得 B. 存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分 12. （多选）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”．已知点是“曲线”上一点，下列说法中正确的有（　　） A. “曲线”关于原点中心对称 B C. “曲线”上满足的点有两个 D. 的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知等比数列的前3项和为84，，则公比__________. 14. 若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_________． 15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，点P满足．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥中，平面，且，该三棱锥体积的最大值为______________． 16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明：． 18. 在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若 （1）求的面积; （2）若，求的长. 19. 某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值； （2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数； （3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，，． 20. 如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且． （1）证明：平面； （2）若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值． 21. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B