8.3.2球的表面积和体积(第2课时)（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.3.2球的表面积和体积(第2课时) 复习导入 1.表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 直 观 图 表 面 积 S圆柱＝ S圆锥＝ S圆台 复习导入 2.体积 新知探究 思考1：在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行计算呢？ 新知探究 1.表面积 设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数. 事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是 . 辨析1：钢球直径是5cm,求它的表面积. O 半径 球心 解： 新知探究 问题1：如何求解球的体积呢？ ①圆的面积公式是如何推导的呢？ 分割 近似替代 取极限 ②类比圆的面积公式推导，你能推导球的体积公式吗？ 新知探究 ②类比圆的面积公式推导，你能推导球的体积公式吗？ 分割 近似替代 新知探究 取极限 由此，我们得到球的体积公式 2.体积 练习巩固 例3：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是，圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取) 解：一个浮标的表面积为， 所以给个这样的浮标涂防水漆约需涂料 . 辨析2：若一个球的体积为，则它的表面积为_____. 【答案】 ， 练习巩固 例4：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为. ∵，， ∴. 练习1：一个球的表面积是，则它的体积是( ). A. B. C. D. 【答案】 变式1：已知球的体积为，则它的表面积为_____. 【答案】 练习巩固 变式1-2：若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为______. 【答案】 变式1-3：如果三个球的半径之比是，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的______倍. 【答案】 练习2：一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是( ). A. B. C. D. 【答案】 A 新知探究 3.性质 用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系: 练习巩固 变式2-1：已知一个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的表面积是_____. 【答案】 变式2-2：平面截球的球面所得圆的半径为，球的体积为，则球心到平面的距离为( ). A. B. C. D. 【答案】 练习巩固 练习3：已知正方体的八个顶点都在球的球面上且正方体的棱长为，求球的表面积和体积. 解：正方体的一条对角线是球的一条直径,所以球的半径为 O A B C D 小结：正方体的中心是正方体外接球，内切球的球心 新知探究 3.球的切接 一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体. 外接球 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体。 内切球 若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球 棱切球 新知探究 O A B C D 直径等于正方体的体对角线长 直径等于正方体的棱长. 直径等于正方体的面对角线长 外接球 内切球 棱切球 O • O • A B C D O • 新知探究 问题2：长方体有没有外接球、内切球、楞切球呢？如果有，它的体积是？ 长方体的不一定有内切球和棱切球 长方体必有外接球，球心是体对角线的中点 长方体外接球 练习巩固 变式3-1：已知正方体的内切球的体积是，则正方体的棱长为___________. 【答案】 变式3-2：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ). A. B. C. D. 【答案】 变式3-3：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________. 【答案】或 练习巩固 变式3-4：若棱长为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则球的表面积为______. 【答案】 切接问题：常将几何体放于长方体中，或找轴截面进行求解 墙角模型 汉堡模型 • O • O2 C B A a • O1 小结 ， 正方体 O A B C D 外接球 内切球 棱切球 长方体外接球 $$