8.3.2 球的表面积和体积(第2课时)-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

8.3.2 球的表面积和体积(第2课时) 新知探索 设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数. 事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是 . 例析 例3.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是，圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取) 解：一个浮标的表面积为， 所以给个这样的浮标涂防水漆约需涂料 . 新知探索 思考1：在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.如图，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”. 新知探索 当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似棱锥，其高越近似于球半径.设是其中一个“小锥体”，它的体积是 . 由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积 由此，我们得到球的体积公式 例析 例4.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为. ∵，， ∴. 新知探索 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算. 新知探索 辨析1：判断正误. 1.决定球大小的因素是球的半径.（ ） 2.球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. （ ） 3.长方体既有外接球又有内切球.（ ） 答案：√，√，×. 辨析2：若一个球的体积为，则它的表面积为_____. 答案：. 练习 题型一：球的表面积和体积 例1.(1)一个球的表面积是，则它的体积是( ). A. B. C. D. 答案：D. 解：设球的半径为，则由题意可知，故. 所以球的体积.故选D. 练习 例1.(2)已知球的体积为，则它的表面积为_____. 答案：. 解：设球的半径为，由已知得，故. 所以球的表面积. 练习 方法技巧： 1.球的体积与表面积的求法：必须知道半径或者通过条件能求出半径，然后代入体积或表面积公式求解. 2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就轻松自如了. 练习 变1.(1)若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为______. 答案：. 解：设此球的半径为，则，解得. 变2.(2)如果三个球的半径之比是，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的______倍. 答案：. 解：设小球半径为，则大球的表面积，，. 练习 题型二：球的截面问题 例2.(1)一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是( ). A. B. C. D. 答案：B. 解：设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示.在中，，， ∴球的半径， ∴球的体积.故选B. 练习 例2.(2)已知一个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的表面积是_____. 答案：. 解：当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知，且，为两截面圆的圆心，则， .设球的半径为， ∵，∴. 同理，得. 设，则. 练习 例2.(2)已知一个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的表面积是_____. 在中，，① 在中，，② 联立①②可得，. ∴ 故球的表面积为 . 练习 例2.(2)已知一个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的表面积是_____. 解：当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，且，为两截面圆的圆心，则， .设球的半径为， ∵，∴.同理，得. 设，则. 在中，在中， 解得，不合题意，舍去. 综上所述，球的表面积为. 练习 方法技巧： 球的截面问题的解决方法 1.作经过球心和截面圆圆心的轴截面. 2.利用直角三角形求解，球的半径，球心到截面的距离，截面圆半径恰好构成一个直角三角形，利用可知二求一. 练习 变2.平面截球的球面所得圆的半径为，球的体积为，则球心到平面的距离为( ). A. B. C. D. 答案：. 解：如图，设截面圆的圆心为，为截面圆上任一