主题2 第5章 第2节 等差数列及其前n项和-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（北师大版）

课时冲关29　等差数列及其前n项和 [基础训练组] 1．(2024·四川省南充市白塔中学模拟)在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝12，则数列{an}的前6项之和为(　　) A．12　　 B．32 C．36　　 D．37 解析：C　[数列{an}的前6项之和为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3(a3＋a4)＝36.] 2．(2024·河北石家庄模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a2 024＝6，则S2 025＝(　　) A．3 033 B．4 044 C．6 075 D．8 075 解析：C　[由等差数列{an}知，a2＋a2 024＝a1＋a2 025＝6，所以S2 025＝＝1 011×6＝6 075.] 3．(2024·宜昌市模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则(　　) A．a7＝0 B．|a7|＝|a8| C．|a7|>|a8| D．|a7|<|a8| 解析：D　[∵公差d>0，∴S9>S8，又∵(S8－S5)(S9－S5)<0，∴S8<S5<S9，∴a6＋a7＋a8<0，a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7<0，a7＋a8>0，|a7|<|a8|.] 4．(2024·全国模拟)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为(　　) A．22 B．21 C．24 D．23 解析：D　[因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝－n＋， 由an＝－n＋＞0，解得n＜23.5，即a1＞a2＞…＞a23＞0＞a24＞…，所以a23·a24＜0，即使ak·ak＋1＜0的k值为23.] 5．(2024·云南师大附中模拟)《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱．欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为(　　) A．10 B．14 C．23 D．26 解析：D　[设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{an}． 由题意可知，等差数列{an}中a2＝17，前5项和为100， 设公差为d(d＞0)，前n项和为Sn， 则S5＝5a3＝100，解得a3＝20， 所以d＝a3－a2＝3， 所以公士出的钱数为a5＝a3＋2d＝20＋2×3＝26.] 6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　) A．a9＝17 B．a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91 解析：BD　[∵对于任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)， ∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2. ∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2， 则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.] 7．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：C　[因为{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d， ＝a1＋d ＝n＋a1－，－＝， 故为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，为等差数列， 即－＝＝为常数，设为t， 即＝t，故Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)， 故Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减有：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn⇒an＋1－an＝2t，且为常数，对n＝1也成立，故{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，故甲是乙的充要条件．] 8．(2024·全国模拟)在数列{an}中，a1＝，a2＝，且当n＞1时，有＋＝，则an＝________. 解析：∵＋＝(n＞1)， ∴数列是等差数列， ∵＝2，＝， ∴数列的公差为，首项为2， ∴＝2＋(n－1)＝， ∴an＝，验证得n＝1时成立，故an＝. 答案： 9．(2024·浙江模拟)设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－＜d＜－，则当Sn取最大值时，n的值为________． 解析：因为等差数列{an}的公差d满足－＜d＜－，所以{an}是递减数列．又a1＝1.d为负数．an＝a1＋(n－1)d＞0，即n＜， ∴n＜1－.∵－＜d＜－， ∴9.5＜1－＜10，∴n≤9.即n≤9时，an＞0；n≥10时，an＜0.所以当n＝9时，Sn取最大值． 答案：9 10．(2024·全国模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则n＋Sn的最小值为________． 解析：由Sn＝na1＋，S10＝0，S15＝25，得 解得 则Sn＝－3n＋·＝(n2－10n)． 故n＋Sn＝(n2－7n)＝. 由于n∈N＋，故当n＝3或4时，(n＋Sn)min＝－4. 答案：－4 11．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①当n＝1时，原式恒成立；当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)，② ①－②得：2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 整理得：(2n－2)an＝(2n－2)an－1＋(2n－2)； 因为n≥2，故2n－2＞0，所以an－an－1＝1(n≥2) 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)可知d＝1，由题意a＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，化简得：a1＝－12. 故Sn＝na1＋d＝－12n＋＝n2－n＝2－， 因为n∈N＋，所以n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. [能力提升组] 12．(2024·全国模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋3(n∈N＋)，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列{an}是递增数列 C．a1，a5，a9成等差数列 D．S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列 解析：D　[∵Sn＝n2＋n＋3(n∈N＋)， ∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋3－＝n＋， n＝1时，a1＝S1＝. n＝1时，不满足an＝n＋， ∴数列{an}不是等差数列； a2＝＜a1＝，因此数列{an}不是单调递增数列； 2a5－a1－a9＝2×－－＝－≠0，因此a1，a5，a9不成等差数列． S6－S3＝×(4＋5＋6)＋×3＝， S9－S6＝×(7＋8＋9)＋×3＝， S12－S9＝×(10＋11＋12)＋×3＝， ∵－－＝0， ∴S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．] 13．(多选)(2024·浙江温州期末)某“最强大脑”大赛吸引了全球10 000人参加，赞助商提供了2 009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次(没有并列名次的选手)进行奖励，要求第k名比第k＋1名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配多少智慧币(　　) A．300 B．293 C．93 D．89 解析：BD　[设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖， 则智慧币分配如下： m＋(m－2×1)＋(m－2×2)＋…＋[m－2(x－1)]＝2 009， 即xm－2[1＋2＋…＋(x－1)]＝2 009， 又1＋2＋…＋(x－1)＝＝， ∴xm－x2＋x＝2 009，即m＝＋x－1， ∵x，m都为正整数，且2 009＝7×7×41， ∴x＝7，m＝＋7－1＝293， x＝41，m＝＋41－1＝89， x＝49，m＝＋49－1＝89， x＝287，m＝＋287－1＝293， ∴第一名分配89或293个智慧币．] 14．(2024·全国模拟)在数列{an}中，an＋2－an＝2(n∈N＋)，a1＝－23，a2＝－19，Sn为{an}的前n项和，则Sn的最小值为________． 解析：因为an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列． 当n为奇数时，an＝－23＋2×＝n－24，当n为偶数时，an＝－19＋2×＝n－21， 所以an＝， 当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－44×＝－22n＝(n－22)2－242，故当n＝22时，Sn的最小值为－242； 当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝－22(n－1)＋n－24＝－22n－＝(n－22)2－， 故当n＝21或n＝23时，Sn取最小值－＝－243. 综上，Sn的最小值为－243. 答案：－243 15．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋1)an＋1对一切n∈N＋都成立． (1)若λ＝1，求数列{an}的通项公式； (2)求λ的值，使数列{an}是等差数列． 解：(1)若λ＝1，则(Sn＋1＋1)an＝(Sn＋1)an＋1，a1＝S1＝1，令n＝1，得a2＝2. 又因为an>0，Sn>0，所以＝， 所以··…·＝··…·， 化简得Sn＋1＋1＝2an＋1.① 所以当n≥2时，Sn＋1＝2an.② ①－②，得an＋1＝2an，所以＝2(n≥2)．当n＝1时上式也成立． 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即an＝2n－1(n∈N＋)． (2)令n＝1，得a2＝λ＋1.令n＝2，得a3＝(λ＋1)2. 要使数列{an}是等差数列，必须有2a2＝a1＋a3，解得λ＝0. 当λ＝0时，Sn＋1an＝(Sn＋1)an＋1，且a2＝a1＝1. 当n≥2时，Sn＋1(Sn－Sn－1)＝ (Sn＋1)(Sn＋1－Sn)， 整理，得S＋Sn＝Sn＋1Sn－1＋Sn＋1， ＝， 从而··…·＝··…·， 化简，得Sn＋1＝Sn＋1，所以an＋1＝1. 综上所述，an＝1(n∈N＋)． 所以λ＝0时，数列{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$