主题2 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理及应用举例-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（北师大版）

课时冲关26　正弦定理和余弦定理及应用举例 [基础训练组] 1．(2024·莆田市模拟)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.] 2．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.] 3．(2024·江西模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＋csin C＝asin A，则的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：C　[由已知及正弦定理得b2＋c2＝a2，所以cos A＝＝，所以＝＝·＝6.] 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccos A，c＝2bcos A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由正弦定理，得sin B＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Bcos A，即sin(A＋C)＝2sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin Acos C－cos Asin C＝0，所以sin (A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．] 5．(2024·全国模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是(　　) A．若a＝2，b＝2 024，c＝2 025，则△ABC为钝角三角形 B．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰三角形 C．若a∶b∶c＝2∶3∶4，则△ABC中最小的内角为A，且A∈ D．若a＝2，c＝，C＝，则B＝ 解析：B　[在△ABC中，最大的内角为C，cos C＝＝＜0，故△ABC为钝角三角形，A正确．因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，B错误．设a＝2x，b＝3x，c＝4x(x>0)，△ABC中最小的内角为A，由余弦定理知cos A＝＝＝.因为＜＜1，所以0＜A＜，故△ABC中最小的内角为A，且A∈，C正确．sin A＝＝＝.因为0<A<π，所以A＝或A＝.又因为c>a，所以C>A.则A＝不符合题意，舍去，故B＝π－－＝，D正确．] 6．(多选)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为a2 解析：ABD　[由正弦定理得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确；由cos A＝可得sin A＝＝，则tan A＝＝2，B正确；由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得3b＝2c，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝c，C错误；由上知：a＝3b－c,3b＝2c，可得a＝c，b＝a，则△ABC的面积为bcsin A＝·a·a·＝a2，D正确．] 7．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．] 8．(2024·北京模拟)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使＝成立的一组A，B的值是________． 解析：由正弦定理得：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∵＝，∴＝， ∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∵A∈(0，π)，B∈(0，π)， ∴A＝B＝(答案不唯一)． 答案：A＝B＝(答案不唯一) 9．(2024·合肥市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，且△ABC的面积等于3，则b＝________. 解析：∵A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A， ∴由余弦定理可得： a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，① 由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，② 又S△ABC＝bcsin A＝3，即bc＝6，③ 由①②③联立解得b＝3. 答案：3 10．(2024·辽宁沈阳模拟)沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁(A)和临秀亭(B)两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案： ①测量∠A、AC、BC；②测量∠A、∠B、BC；③测量∠C、AC、BC. 其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是________． 解析：对于①，由正弦定理可得＝， 则sin B＝， 若AC＞BC且∠A为锐角，则sin B＝＞sin A，此时DB有两解， 则∠C也有两解，此时AB也有两解； 对于②，若已知∠A、∠B，则∠C确定，由正弦定理＝可知AB唯一确定； 对于③，若已知∠C、AC、BC，由余弦定理可得AB＝， 则AB唯一确定． 答案：②③ 11．(2023·天津卷)△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，∠A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin(B－C)的值． 解：(1)由正弦定理，＝，即＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 即39＝4＋c2－2×2×c×， 解得c＝5或c＝－7(舍去)．所以c＝5. (3)由正弦定理＝，即 ＝，解得sin C＝，而A＝120°， 所以B，C都为锐角，因此cos C＝ ＝，cos B＝＝， 故sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C ＝×－×＝－. [能力提升组] 12．(多选)(2024·全国模拟)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mlie.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60° D．D在灯塔B的北偏西30° 解析：ABC　[在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则∠B＝45°，AB＝12. 由正弦定理得AD＝＝＝24， 所以A处与D处之间的距离为24 n mile ，故A正确； 在△ADC中，由余弦定理得，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°， 又AC＝8，解得CD＝8. 所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B正确； ∵AC＝CD＝8，∵∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确； ∵灯塔B在D的南偏东60°， ∴D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．] 13．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 解析：ACD　[∵tan A＋tan B＋tan C＝ tan Atan Btan C>0， ∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确； 由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误； 由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理， 可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B， ∴sin A＝sin B， ∴A＝B，∴选项C正确； 由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C， ∴选项D正确．] 14．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 解析：令BD＝t，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系，则C(2t,0)，A(1，)，B(－t,0)． ＝＝4－≥4－2. 当且仅当t＋1＝，即BD＝－1时取等号． 答案：－1 15．(2024·上海交大附中模拟)已知三角形花园ABC，顶点A、B、C为花园的三个出入口，满足AB＝20，BC＝20，CA＝20(单位：米)． (1)求三角形花园的面积(精确到1平方米)； (2)若三角形3个内角均小于120°，到三角形三个顶点距离之和最短的点M必满足MA、MB、MC正好三等分M点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和(满足到三个出入口的距离和最小)． 解： (1)由余弦定理可得cos A＝＝，则A为锐角， 所以sin A＝＝， 所以S△ABC＝AB·ACsin A＝×20×20×＝7 400≈12 817(平方米)． (2)△ABC中，AC最长， cos B＝＞0，则B为锐角， 故△ABC为锐角三角形， 由(1)可知S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝(PA·PB＋PA·PC＋PB·PC)sin 120°＝7 400，所以，PA·PB＋PA·PC＋PB·PC＝29 600， 根据余弦定理可得AB2＝PA2＋PA2－2PA·PBcos 120°＝PB2＋PB2＋PA·PB， 同理可得AC2＝PA2＋PC2＋PA·PC，BC2＝PB2＋PC2＋PB·PC， 以上三个等式相加可得AB2＋AC2＋BC2＝2(PA2＋PB2＋PC2)＋PA·PB＋PA·PC＋PB·PC， 所以PA2＋PB2＋PC2＝ ＝30 800， 因此，(PA＋PB＋PC)2＝PA2＋PB2＋PC2＋2(PA·PB＋PA·PC＋PB·PC)＝90 000， 则PA＋PB＋PC＝300(米)． 因此，三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和为300米． 学科网（北京）股份有限公司 $$