主题2 第3章 热点强化课2 函数中的构造问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（北师大版）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时冲关18函数中的构造问题 [基础训练组 1.己知定义在R上的函数x)满足2)=20，且x)的导函数(x)满足(x)>62+2, 则不等式)>2x3+2x的解集为() A.t>-2} B.{xr>2} C.xk<2) D.{xk<-2或x>2} 解析：B【令函数gx)=)-2x3-2x,则g'x)=fx)-6r2-2>0,所以g(r)在R 上单调递增。 因为g(2)=2)-2×23-2×2=0,所以原不等式等价于gx)>0=g2), 所以所求不等式的解集为xt>2},] 2.已知a,b,c∈avs4 alcol0f1e),+w,且n5a=-5lna,n3b=-3nb,ln2c =-2lnc,则() A.b<c<a B.c<b<a C.a<e<b D.a<b<c 解析：A[设函数fx)=xnx,f(x)=1+nx,当x∈alvs4 alcol0fle),十o),f(x) >0,此时x)单调递增，当x∈aws4acol(0,f1e),于(x)<0,此时x)单谓递减，由题 In 5a=-5In a,In 3b=-3ln b,In 2c=-2In c,aln a=15In15,bln b=131n13,cln c=12In12 =14lnl4,因为15<14<13<1e,所以15nl5>14lnl4>13nl3,则ana>cnc>blnb,且 a,b,c∈aws4acol0fle),+o),所以a>c>b] 3.已知x)是定义在R上的奇函数，一1)=0，当x<0时，(x)+x)<0,则使得 x)>0成立的x的取值范围是() A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(-1.0) D.(0,1)U(1,+∞) 解析：B[构造函数Fx)=试)， 因为x)为奇函数，所以F(一x)=一一x)=x)=Fx),所以F)为偶函数， 因为当x<0时，xyf()+f)<0, 即F(x)<0, 所以x<0时，函数Fx)单调递减，x>O时，函数Fx)单调递增， 因为-1)=0，所以F(-1)=(-1)f-1)=0F1)=0.因为)>0，所以F 0X0x>0, 所以x>0,F口x口>0)或x<0,F口x日<0，)所以x>1或-1<x<0] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.(2024江苏模拟x)在(0，+∞)上的导函数为(，x矿x)>2x),则下列不等式 成立的是() A.20242025)>202522024) B.202422025)<202532024) C.2024r2025)>2025f2024) D.20242025)<20252024) 解析：A[令g)=f0x0x2(x>0),则g'()=x2fDxD-2xf0x口x4=xf口x0 2f0x0x3, yf()>2x),g()>0, ·gx)在(0，十∞)上单调递增， .g(2024)<g(2025),即f口2024D20242<f02025020252, .20242025)>202522024).] 5.设a=ln3,b=3ln2,c=2ln3,则a、b、c的大小关系是() A.ab>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 解析：D[构造函数x)=2nxx,其中x>0,则fx)=2口1-nx口x2, 当0<x<e时，f(>0,所以函数fx)在(0，e)上单调递增， 因为0<2<3<e,则2)<f3),即<，即3n2<2n3, 所以b<c, 因为35=243<256=28，故5ln3<8n2,即ln3<85ln2<3ln2,即a<b, 因此，c>b>a] 6.若不等式e一an(ax一1)+1≥0对x∈f(12),1)恒成立(e为自然对数的底数)，则实 数a的最大值为) A.e+1 B.e C.e2+1 D.e2 解析：A[由题设，a-1>0在f12),1)上恒成立，∴.a>0,a2)-1>0,即a>2 原不等式可化为exa-Ina\blle\re\)avs4 alcol(x-fla))+la=e-ma-na-n avs4 alcol(x-f1a)+la≥0， ∴.e-l血a-ha≥In aws4 alcol(x-f1a)-la, 即er-a+x-lna≥x-la+Inaws4-alcol(x-f1a), 令x)=e+x,则f()=e+1>0,即x)在x∈f12),1)上单调递增， 由上知：fr-lna≥favs4al小col(nblc0rc)0avs4 alcol(x-f1a)),则x-na≥n avs4 alcol(-f1a),即lna≤x-In awvs4 alcol(-f1a)在f12),1)上恒成立， *独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 g(x)=x-Iniaws4 alicol(x-f(la)), 则g'(x)=1ala,又x∈f12),1),a>2 .x-la-1<0,x-1a>0,即g'()<0, 故g)在f(12),1)上单调递减， ∴.lna≤gcim=1-havs4 alcol(1-fla),故na+In'aws4 ancol(l-fla)=n (a-1)≤1，可得a≤e+1, 综上，2<a≤e十1，故a的最大值为e十1] 7.设a=2n1.01,b=1.02-1,c=1101,则() A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 解析：D[令x)=nx,gx)=x-1, h(x)=f(x)-g(x)=Inx-x+1, h'(x)=1x一12r(x)=x)2x,可以判断hx)在[0,4]上单调递增， a-b=2n1.01-1.02+1=n1.012-1.02+1=ln1.0201-1.02+1>ln1.02-1.02+1= h1.02)>h(1)=0, 所以a>b, (b+1)2-(c+1)2=1.02-aws4alco1(1+f1101)2=2100-2101-11012=202 200100×101-11012=2100×101-11012>0, 所以(b+1)2>(c+1)2, 又因为b=1.02-1>0,c=1101>0, 所以b+1>c+1,即b>c,所以c<b<a.] 8.设函数x)的定义域为(0，+o),fx)是函数x)的导函数，x+(xnxf(x) >0,则下列不等关系正确的是() A.3)log23>2) B.faws4alcol(f(3))In3<0 C.3)>29) D.fawvs4al\col(f(le2))<0 解析：A[函数x)的定义域为O,+o),则fo+xnxf(x)>0elxx)+f()Inx >0,令g)=axnx,x>0,则g)=1xx)+f(x)nx>0,即gx)在(0，+∞)上单调递增， 对于A,g(3)>g2),即f3n3>2n2-3)log3>2),A正确：对于B,g avs4acol0fx3)>g(1),即3)nm3>1)ln1=0,B不正确：对于C,g3)<g(9),即f (3)n3<f9)n9=2f9)n3-3)<2f9),C不正确：对于D,gavs4al小colf1e2)<g(1), 免 falvs4\allcol(f(le2))In le2<f1)In 1=0, -2f avs4 alcol0f1e2)<0-favs4 alcol(f1e2)>0,D不正确.】 9,已知不等式x十mnx十lex≥xm对x∈(1，十o)上恒成立，则实数m的最小值为 *独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：x十mlnx+lex≥xm可变为x十lex≥rm一mlnx=x十e-≥xm-lnm, 再变形可得，e一x-ne-≥xm-lnx",设x)=x一In x(x>0),原不等式等价于e-) ≥xm,因为f(x)=1一1x=x一1x,所以函数fx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调 递增，而x>1,e-x=lex∈(0，l), 当m<0时，0<xm<1,所以由e)≥x四，可得ex≤x", 因为x>l,所以nex≤lnxm=m≥-xnx 设o)=-xIn x(x>1),p'(x)=-nx-1Dlnx口2=1-lnx口nx口2，所以函数g (c)在(I,e)上单调递增，在(e,十oo)上单谓递减，所以ox)w=p(e)=一e,即一e≤m<0 当m=0时，不等式x十1ex≥1在x∈(1，十∞)上恒成立： 当m>0时，xm>1,无论是否存在m∈(0，+∞)，使得e)≥fx四在x∈(1，+o∞)上 恒成立，都可判断实数m的最小值为一e。 答案：一e 10.已知函数x)=ln+I)一x十1. (1)求函数x)的单调区间： (2)设函数g)=ae一x十na,若函数Fx)=r)一gx)有两个零点，求实数a的取值范 围。 解：(1)函数的定义域为xt>一1}， x)=1x+1-1=-x+1,f(x)>0,-1<x<0:fx)<0,x>0 函数x)的单调递增区间为（一1,0）；单调递减区间为0，+∞). (②)要使函数Fx)=x)一gx)有两个零点，即x)=gx)有两个实根， 即nc+1)-x十1=ae-x十lna有两个实根. 即e+na+x十lna=lnx+1)+x+1 整理为cx+iha十x十na=e6+)+n(xr+1), 设函数hax)=e+x,则上式为hx十na)=hlnx十1)， 因为h'(x)=c+l>0上恒成立，所以h(x)=c+x单调递增，所以x+lna=lnx+1). 所以只需使lna=nx+1)一x有两个根，设M)=ln(c+I)一x 由(1)可知，函数Mx)的单调递增区间为（一1,0）：单调递减区间为(0，十∞)： 故函数Mx)在x=0处取得极大值，Mxmw=M(O)=0 当x→一1时，Mx)一-o∞；当x→十∞时，M)→-o∞， 要使na=n(x+1)一x有两个根，只需na<0,解得0<a<1. 所以a的取值范围是(O,1). [能力提升组] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.Com○ 您身边的互联网+教辅专家 11.己知函数)是定义在R上的偶函数，其导函数为(，且当x<0时，2x)+ 'x)<0,则不等式x-2024)x-2024)一-1)0的解集为) A.(-0,2025) B.(2023,2025) C.(-∞，2025)U(2023,+∞) D.(-∞，2023)U(2025,+∞) 解析：D[令Fm=xr2x), 则F(x)=2x)+x2f(e)=x[2)+f)l,当x<0时，2x)+xf)<0, 所以当x<0时，F'(x)=x2x)十fx]>0,即Fx)在(-o,O)上是增函数， 由题意x)是定义在R上的偶函数，所以尤一x)=x,所以F(一x)=(一x)一x)=x才 (x)=Fx), 所以Fx)是偶函数，在(O,十∞)递减， 所以Fx-2024)=(c-2024)2fx-2024), (-1)=(-1)-1)=-1),即不等式等价为Fx-2024)F(-1), 所以x-2024>1, 所以x2023或x>2025] 12.已知可导函数x)是定义在avs4 alcol(一fr2)上的奇函数.当x∈1 avs4 alcol(0,fπ2)时，fx)+f(x)tanx>0,则不等式cos x faws.4al小col(x+f2)+sinx 一x)>0的解集为() A.laws4\alicol(-f(6) B.aws4\allcol(-\f(6),0) C.avs4alcol(-\f) D.avs4\alcol(-fπ4)，0) 解析：D[当rElaws4 alcol(O,Mfx2)时，f)+f'c)tanx>0,则cosx)+f(x sinx>0. 则函数sinr)在alvs4 alcol(O,f(π2)上单渊递增，又可导函数r)是定义在 avs4 alcol(-fx2)上的奇函数 则sinxfx)是alvs4 alcol(-fr2)上的偶函数，且在alvs4 alcol(-fx2),0)单调递减， 由-fπ元π2x2)可得x∈avs4 alcol(-fπ2)，0)， 则x+π2∈avs4acol(0,fπ2)，一x∈avs4 alcol(0,fπ2)， 则xE lals44 aNcol(-f(2),0)时，不等式cos x falvs-4 alcol(x+f(x2)+sinx-x) >0, 可化为sin avs44 alcol(x+fπ2)人avs4 alcol(x+fπ2)> sn(一x)-x), 又由函数sin xfx)在alvs4 alcol(0,f(π2)上单调递增，且一x∈alvs4 alcol(0,\ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f(2)),x+2Eaws4\allcol(0,f(2)), 则有2>x十x2>一x>0,解之得-π4<x<0.] 13.已知1>0，对任意的x∈(0，+∞)，不等式e2一lnx2≥0恒成立，则的最小值 为 解析：，对于任意x∈(0，十∞)，1>0，不等式e2r-lnx22≥0恒成立， ∴.对于任意x∈(0，十o),2e2≥nxe2ie2u≥xnx=lnxe血x,即2e2≥Inxelnx 恒成立， 当0<x≤1时，2re2>0≥Inx-ehx; 当x>1,lnx>0, 设fx)=xe,则f(x)=e(I十x)>0,所以x)=xe在x∈(0，十o∞)上单调递增， 由f2x)≥flnx),知2x≥lnx,即A≥hx2x,即1≥avs4 alcol(f0nx2x)mx, 设gx)=nx2x,x∈(0，+∞)，求导g'()=2口1-nx口4x2, 令g'x)=0,得x=e, 当x>e时，g'()<0,g)单调递减：当0<x<e时，g'()>0,g)单调递增： ∴g(x)在x=e处取得极大值，且为最大值，gxmm=ge)=lne2e=12e 所以≥12e时，不等式e2-nx22≥0恒成立. 答案：12e l4,若关于x的不等式alnx十l≤xr(e-a(a∈R)恒成立，则a的取值范围是 解析：alnx十l≤x(e一a),整理为xe一一anx一l≥0，其中xe=e血xe=e+lx,故 e+x-ax十ln)-1≥0，令x十lnx=teR,则c-at-1≥0,0=e心-at-l,注意到：f 0)=0,其中f①=e-a,当a=1时，令f(0>0,解得1>0，令f(0<0,解得t <0,则0≥0)=0，满足题意： 当a>1时，令f(0>0,得>na,令()<0，得t<lna,则0=e-at-1在na, +o)上单调递增，在（一o,na)上单调递减，且na>0,0)=0,所以当t∈(0，na)时， 0≤0)=0，不合题意，舍去： 故不满足题意，舍去： 当0<a<1时，令f(0>0,得t>na,令f'(0<0,得lna,所以0在(-o,h a)上单调递减，在na,+∞)上单调递增，且lna<0,0)=0,所以当t∈(na,0)时，f (0<0)=0,不合趣意，舍去：当a≤0时，-1)=e1+a一1<0，故不合题意，舍去. 综上，a的取值范围是{I}。 答案：1} ◆独家授权侵权必究·