主题2 第3章 第1节 导数的概念及其几何意义、导数的运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（北师大版）

[选择性必修第二册]　第三章　导数及其应用 课时冲关15　导数的概念及其几何意义、导数的运算 [基础训练组] 1．(2024·全国模拟)若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f′(0)＝4，则a＝(　　) A．0　　 B．1　 C．2　　 D．3 解析：D　[由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，得f′(x)＝aeax＋，又f′(0)＝4，所以f′(0)＝a＋1＝4，则a＝3.] 2．(2024·四川高三模拟)曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．－1 解析：C　[设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此，f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.] 3．(2024·邵阳市质检)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵f′(x)＝f′(－2)ex－2x， ∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)，解得f′(－2)＝.] 4．(2024·河南洛阳模拟)若过点P(1,0)作曲线y＝x3的切线，则这样的切线共有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：C　[设切点为(x0，x)，由y＝x3，所以y′＝3x2，所以＝3x， 所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，因为切线过点P(1,0)， 所以0＝3x－2x，解得x0＝0或x0＝，所以过点P(1,0)作曲线y＝x3的切线可以作2条．] 5．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1,0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：B　[∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝1＋ln x， ∴f′(1)＝1＋ln 1＝1，∴k＝1，∴曲线y＝f(x)在A(1,0)处的切线方程为y＝x－1，由得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.] 6．(2024·榆林市模拟)曲线f(x)＝x3－(x＞0)上一动点P(x0，f(x0))处的切线斜率的最小值为(　　) A. B．3 C．2 D．6 解析：C　[f(x)＝x3－(x＞0)的导数f′(x)＝3x2＋， ∴在该曲线上点(x0，f(x0))处切线斜率 k＝3x＋， 由函数的定义域知 x0＞0， ∴k≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．∴k的最小值为2.] 7．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x 解析：BC　[对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意； 对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意； 对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意； 对于D，f (x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．] 8．(多选)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 解析：AC　[因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex. A．令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故正确；B.令f′(x)＝ex＝－1无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故错误； C．因为(0,1)在曲线上，所以点(0,1)是切点，则f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故正确；D.设切点(x0，)，则切线方程为y－＝ (x－x0)，因为点(0,0)在切线上，所以＝x0，解得x0＝1，所以过点(1，e)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故错误．] 9．(2024·广东潮州模拟)已知f (x)＝x2＋2xf′(2 023)＋2 023ln x，则f′(1)＝________. 解析：由题意，得f′(x)＝x＋2f′(2 023)＋， 所以f′(2 023)＝2 023＋2f′(2 023)＋1， 解得f′(2 023)＝－2 024， 所以f′(x)＝x＋－4 048， 所以f′(1)＝1＋2 023－4 048＝－2 024. 答案：－2 024 10．(2024·广东深圳市模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点________． 解析：函数f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝xln x－ax2＋x，得f′(x)＝ln x＋2－2ax，则f′(1)＝2－2a. 又f(1)＝1－a，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程为y－(1－a)＝2(1－a)(x－1)， 即y＝2(1－a)，由可得所以直线l恒过定点. 答案： 11．(2024·全国模拟)已知a＞1，函数f(x)＝ln x，则下面结论中正确的有________(填上所有正确结论的序号)． ①函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1； ②函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1； ③函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而增大； ④函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小． 解析：＝＝ln(a＋1)－ln a＝ln＝ln， 因为a＞1，所以ln＜ln(1＋1)＝ln 2＜1，所以①错误，②正确． 又当a＞1时，1＋随着a的增大而减小， ln随着1＋的减小而减小， 所以随着a的增大而减小，所以③错误，④正确． 答案：②④ 12．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×＝－， ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. [能力提升组] 13．(2024·玉溪市模拟)已知函数f(x)＝x2＋ln2x－2m(x＋ln x)＋2m2＋1，若存在x0使得f(x0)≤成立，则实数m的值为(　　) A. B．1 C. D．2 解析：A　[∵函数f(x)＝x2＋ln2x－2m(x＋ln x)＋2m2＋1，若存在x0使得f(x0)≤成立⇔存在x0使得 x－2mx0＋m2＋ln2x0－2mln x0＋m2≤成立． 存在x0使得g(x0)＝(x0－m)2＋(ln x0－m)2≤成立． 可以看作是动点M(x0，ln x0)与动点N(m，m)之间距离的平方小于或等于，动点M在函数y＝ln x的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线y＝x上的动点到曲线y＝ln x的最小距离，由y＝ln x，得y′＝＝1，解得x＝1，∴曲线上点M(1,0)到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，即g(x0)≥，根据题意，要使g(x0)≤，则g(x0)＝，此时N恰好为垂足，由kMN＝＝－1，解得m＝.] 14．(2024·山东省淄博模拟)动直线l分别与直线y＝2x－1，曲线y＝x2－ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B. C．1 D. 解析：A　[设点A是直线y＝2x－1上任意一点﹐点B是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当点B处的切线和直线y＝2x－1平行时，这两条平行线间的距离|AB|的值最小﹐ 因为直线y＝2x－1的斜率等于2， 曲线y＝x2－ln x的导数y′＝3x－， 令y′＝2，可得x＝1或x＝－(舍去)， 故此时点B的坐标为，|AB|min＝＝.] 15．(2024·河北邯郸模拟)已知点P为曲线y＝上的动点，O为坐标原点．当|OP|最小时，直线OP恰好与曲线y＝aln x相切，则实数a＝________. 解析：设P， 所以|OP|＝， 设g(x)＝x2＋2·(ln x)2，g′(x)＝2x＋2·2·(ln x)·＝， 当x＞时，ln x＞－1⇒ln x＞－，2x2＞，所以g′(x)＞0，g(x)单调递增， 当0＜x＜时，ln x＜－1⇒ln x＜－，2x2＜，所以g′(x)＜0，g(x)单调递减， 当x＝时，函数g(x)有最小值，即|OP|有最小值，所以P， 此时直线OP的方程为y＝－x，设直线y＝－x与曲线y＝aln x相切于点(x0，aln x0)， 由y＝aln x⇒y′＝⇒＝－1⇒x0＝－a，显然(x0，aln x0)在直线y＝－x上， 则aln x0＝－x0，因此有aln(－a)＝a⇒a＝－e. 答案：－e 16．(2024·福州市质检)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3. 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是　解得 故f(x)＝x－. (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝2x0， 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为 S＝|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$