主题2 第2章 第4节 幂函数与二次函数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（北师大版）

课时冲关9　幂函数与二次函数 [基础训练组] 1．(2024·呼和浩特市模拟)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．定义域内的增函数 解析：B　[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3，∴f(x)＝x－3，∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．] 2．(2024·黄浦区校级模拟)如图所示是函数y＝ (m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数且＜1 B．m是偶数，n是奇数，且＜1 C．m是偶数，n是奇数，且＞1 D．m，n是奇数，且＞1 解析：B　[由幂函数性质可知：y＝与y＝x恒过点(1,1)，即在第一象限的交点为(1,1)，当0＜x＜1时，＞x，则＜1，又y＝图象关于y轴对称，∵y＝为偶函数，∴＝＝＝，又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．] 3．幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．无法确定 解析：A　[由题意可得α＝，β＝. 即α＝，β＝. 所以αβ＝·＝·＝1.] 4．(2024·安徽模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0,1)，都有f(x)＞0 B．∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0 C．∃x∈(0,1)，使得f(x)＝0 D．∃x∈(0,1)，使得f(x)＞0 解析：B　[由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上．因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0，B正确，ACD错误．] 5．(2024·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　　) A．0　　 B．2 C．－　　 D．－3 解析：C　[设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则g(x)≥0在x∈上恒成立，x2＋ax＋1≥0， 即a≥－在x∈上恒成立． 又h(x)＝－在x∈上为单调递增函数，当x＝时，h(x)max＝h，所以a≥－即可，解得a≥－.] 6．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝32x－2·3x＋2，定义域为M，值域为[1,2]，则下列说法中不正确的是(　　) A．M＝[0，log32] B．M⊆(－∞，log32] C．log32∈M D．0∈M 解析：A　[令t＝3x(t＞0)，则f(x)＝32x－2·3x＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1＝g(t)， 由g(t)＝1，得t＝1，即3x＝1，得x＝0； 由g(t)＝2，得t＝0(舍)或2，即x＝log32； 根据g(t)的图象特征，知0∈M，log32∈M，M⊆(－∞，log32]．故BCD正确，A不正确．] 7．(多选)有如下命题，其中真命题的标号为(　　) A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＞ B．函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(1,2) C．函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上单调递减 D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2] 解析：BD　[对于A，令f(x)＝xα，则2α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f(3)＝＜，A错误；对于B，令x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝1＋1＝2， ∴f(x)恒过定点(1,2)，B正确；对于C，∵f(x)为开口方向向上，对称轴为x＝0的二次函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误；对于D，令f(x)＝4，解得x＝0或x＝2；又f(x)min＝f(1)＝3，∴实数m的取值范围为[1,2]，D正确．] 8．(多选)函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a可能的取值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：ABC　[由题意可知问题转化为f(x)max≤g(x)max， g(x)＝x＋4在(－∞，－1]上单调递增， ∴g(x)max＝g(－1)＝3， f(x)＝－x2＋ax－6＝－2＋－6， ①当对称轴x＝≤0，即a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝－6， ∴3≥－6，符合题意，∴a≤0； ②当对称轴x＝＞0，即a＞0时，f(x)m