抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（3题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）

抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录 【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等） 二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。 2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！ 题型一 新定义型二次函数之共生或伴随抛物线 【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线的顶点是Q； (1)点P的坐标是 ，点Q的坐标是_________，抛物线的函数关系式是 ． (2)直线与抛物线、均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D． ①求m的取值范围 ； ②若，求m的值； 本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)若函数的图象过点、 ，其衍生点，求函数的解析式； (2)①若函数的衍生函数为，求A、B两点的坐标； 函数的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置； (3)是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当MN=6时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线． (1)求抛物线的伴随直线； (2)无论取何值，抛物线：总会经过某定点，抛物线：的伴随直线经过该定点，求的值； (3)顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点，（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，当时，轴上存在点，使得取得最大值，求此时点的坐标． 题型二 新定义型二次函数之特殊形状问题 【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 【例2】二次函数的图象交轴于原点及点． 感知特例 （1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表： … （___，___） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 形成概念 我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）； ③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，． (1)抛物线的“反碟长”________． (2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线． ①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是