精品解析：吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

长春语学校2023-2024学年第二学期第一次月考高一年级数学试卷 出题人 ：杨媛媛 审题人：赵宇 本试卷共 2 页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴 在考生信息条形码粘贴区. 2．答题时请按要求用笔. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中，与向量平行的单位向量为（     ） A. B. C. D. 2. 若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（     ） A. 若，则 B. C. 若非零向量，则与的方向相同 D. 若，则 3. 在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，则复数对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量则是“与的夹角为锐角”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 5. 欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（      ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时， 其中正确结论的序号是（     ） A ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 10. 复数在复平面内对应的点为，原点为，i为虚数单位，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是关于x的方程的一个根，则 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（s为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（     ） A. 的周长为30 B. 的中线的长为7 C. 的三个内角满足 D. 的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足则的夹角为_________． 13. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为__． 14. 在边长为4的正方形中，，，以为圆心，1为半径作半圆与交于两点，如图所示．点为弧上任意一点，向量在向量上的投影向量是，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）实数m为何值时，复数z为纯虚数； （2）若，请计算 16. 已知中，点D在线段OB上，且，延长到，使.设，. （1）用、表示向量、； （2）若向量，求的值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为： ①；②；③. （1）求角A大小； （2）若，求的面积. 18. 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 （1）求角B； （2）若，角，求的取值范围. 19. 给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设向量伴随函数为，若，且，求的值； （2）已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，