（2024年高考新题型）2023—2024学年高二下学期数学期中考试（考试范围：高中全部内容）

2023—2024年高二下学期期中考试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围： 高三全部内容 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则集合的元素个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．一个容量为10的样本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，则该组数据的上四分位数为　　 A．8 B．7.5 C．14.5 D．15 3．图1是第七届国际数学教育大会（简称的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为　　 A． B． C． D． 4．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期是 D．图像的对称中心是， 5．的展开式中含的项的系数是　　 A．30 B．32 C．34 D．36 6．如图，在平行四边形中，是的中点，为线段上的一动点， 若，则的最大值为　　 A． B． C．1 D．2 7．椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 8．已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则　　 A．有且仅有一点使二面角取得最小值 B．有且仅有两点使二面角取得最小值 C．有且仅有一点使二面角取得最大值 D．有且仅有两点使二面角取得最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则　　 A．事件，为互斥事件 B．事件，为独立事件 C． D． 10．已知函数的定义域为，且，（1），为偶函数，则　　 A． B．为偶函数 C． D． 11．在中，角，，的对边分别为，，，已知的周长为3，，则　　 A．若，则是等边三角形 B．存在非等边满足 C．内部可以放入的最大圆的半径为 D．可以完全覆盖的最小圆的半径为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数为纯虚数，是虚数单位，则　　． 13．动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为 　　． 14．已知双曲线 的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，若点也在双曲线上，则双曲线的离心率为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围． 16．（15分） 教育是民族振兴、社会进步的重要基石，是功在当代、利在千秋的德育工程，教育能够促进人的全面发展、增强中华民族的创新能力、对实现中华民族伟大复兴具有决定性意义．为响应国家号召，为教育事业奉献微薄之力，某师范院校演讲与口才协会决定每年度举办两次下乡支教活动，现已知第一次支教活动共有名男志愿者，，，，，，和4名女志愿者，，，报名参加，若该协会决定从中随机选派3名志愿者参与希望小学支教活动，已知抽取的志愿者中包含但不包含的概率为． （1）求的值； （2）根据希望小学的需求，该协会决定第二次选派5名志愿者去该校支教，已知第二次报名的男、女人数分别与第一次报名的男、女人数一样，若用表示第二次支教的女志愿者人数，求的分布列及数学期望． 17．（15分） 如图所示，在四棱锥中，底面是梯形，且，，若，，． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值． 18．（17分）阅读材料并解决如下问题： 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一．法国数学家 对曲线进行了图形化应用的测试，提出了 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论．已知抛物线上的动点到焦点距离的最小值为． （1）求的方程及其焦点坐标和