第八章 长方体的再认识（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第八章 长方体的再认识（知识归纳+题型突破） 1.通过观察，进一步认识长方体的元素及其特征，掌握长方体直观图的一般画法及其表示方法. 2.通过观察长方体中棱、面之间的位置关系，直观认识空间两条直线的三种位置关系，认识线面、面面的平行和垂直关系，并会用数学符号表示，知道一些简单的检验方法，形成初步的空间观念. 3.体会数学与生活的密切联系，关心现实世界中的数学现象，激发学习数学的兴趣. 1.长方体的元素 （1）元素；长方体有六个面，八个顶点，十二条棱． （2）特征： ①长方体的每个面都是长方形； ②长方体的十二条棱可以分成三组，三组分别是长方体的长、宽、高，每组中的四条棱的长度相等； ③长方体的六个面可以分成三组，每组中的两个面的形状和大小都相等． 2.长方体直观图的画法： （1）平面的概念及表示： ①概念：在数学中，平面是平的，无边无沿，我们可以画一个平行四边形来表示它，把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一面是水平线所夹的角为度的平行四边形． ②表示：平面可以用平行四边形的顶点字母表示，记作平面；也可以在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的字母，将平面记作平面（如右图所示）． （2）长方体的直观画法：斜二侧画法；水平放置的长方体直观图画法的基本步骤： 第一步：画平行四边形，使等于长方体的长，等于长方体宽的一半，（图①）； 第二步：过分别画的垂线、，过、分别画的垂线、，使它们的长度都等于长方体的高（图②）； 第三步：顺次联结（图③）； 第四步：将被遮住的线段改为虚线（隐藏线）表示（图④）； 这样长方体的直观图就画成了．长方体通常表示为：长方体．它的六个面通常分别表示为：平面、平面、平面等． 3.长方体中棱与棱位置关系的认识： （1）相交：如果直线与直线在同一平面内，具有唯一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线与直线相交． （2）平行：如果直线与直线在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，记作∥，读作：直线与直线平行． （3）异面：如果直线与直线既不平行也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线与直线异面． 4.长方体中面与棱位置关系的认识： （1）平面与直线垂直： 如图所示，直线垂直于平面，记作：直线平面，读作：直线垂直于平面． （2）直线与平面垂直的检验方法： 铅垂线”检验：用一根细绳，一端系一重物，另一端用手提起，使重物悬空，静止后的这根细绳是垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线，用铅垂线可以检验细棒是否垂直于水平面，如果铅垂线能与细棒紧贴，那么细捧垂直于水平面． “三角尺”检验：用三角尺可以检验细棒是否垂直于墙面．如果两把三角尺各有一条直角边紧贴墙面且位置相交，另一条直角边都能紧贴细棒，那么细棒垂直于墙面． “合页型折纸”检验：将一张长方形的硬纸片对折，然后张开一个角度，我们把这个制作称为合页型折纸，如果将合页型折纸立于桌面，那么可以看到折痕垂直于桌面，若在桌面上立着一根细棒，折痕能紧贴细棒，那么细棒垂直于桌面． （3）直线与平面平行: 如图所示，直线平行于平面，记作：直线//平面，读作：直线平行于平面． （4）直线与平面平行的检验: “铅垂线”检验：铅垂线检验黑板的边沿是否平行于地面．从黑板边沿的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面．如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么黑板的边沿与地面平行．类似地用铅垂线法可以检验直线与水平面平行． “长方形纸片”检验：一边贴合在被检验平面内，观察另一边是否与被检验直线重合．若重合，则直线与平面平行． “长方形纸片”检验充分利用了长方形一组对边平行的性质，所以也可以用具有这一性质的平行四边形纸片或梯形纸片． （5） 平面垂直于平面: 如图所示，平面垂直于平面，记作：平面平面，读作：平面垂直于平面． （6）平面与平面垂直的检验: （1）铅垂线检验； （2）合页型折纸检验； （3）三角尺检验． 检验时要观察“铅垂线”、“折痕”、“三角尺的公共边”能否与另一个面紧贴，从而确定两个面的位置关系是否垂直． （7）平面与平面平行: 如图所示，平面平行于平面，记作：平面∥平面，读作：平面平行于平面． （8）平面与平面平行的检验：“长方形纸片”检验： 用长方形纸片可以检验两块硬纸板是否平行，把长方形纸片放在两块硬纸板之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块硬纸板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块硬纸板紧贴，那么这两块硬纸板平行． 题型一 直线与平面、平面与平面位置关系的理解及判断 【例l】如右图所示，在长方体中， (1)写出所有与棱垂直的面； (2)写出所有与平面垂直的棱． (2)如图，是将一个长方