8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 高一下学期 1 1、通过对棱柱、棱锥、棱台的观察，掌握其表面积求法； 2、掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式，并能解决简单的计算问题； 3、能利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征掌握三者体积间的关系； 4、通过学习棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积求法 难点：棱台的体积公式推导，三者体积间的关系 学习目标 几何体的表面积：围成它的所有面的面积之和. 探究：在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，现需用绒布对其进行包装．那么至少需要多大面积的绒布？ 与围成几何体的各个面的面积密切相关． 为此我们引入几何体表面积这一概念． 空间几何体的表面积 平面图形的面积问题 新知探究 平面图形的面积公式 (为内切圆半径) 菱形 复习回顾 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的面积的和． 1、棱柱的表面积： + 底面：多边形（上底、下底） 侧面：平行四边形 新知生成 解决问题：如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，现需用绒布对其进行包装．那么至少需要多大面积的绒布？ 解：S侧＝6×（18.7×7）＝785.4 追问：若用绒布将其全部包裹住，需要多大面积的绒布？ 典例精析 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的面积的和． 2、棱锥的表面积： + 底面：多边形 侧面：三角形 例题：如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 解：因为是正三角形，其边长为，所以. 因此，四面体的表面积为. 新知生成 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积． 3、棱台的表面积： + 底面：多边形（上底、下底） 侧面：梯形 例题：正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积． 教材P116 T1 新知生成 练习1：现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积 习题演练 练习2：已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为_______. 练习2：正三棱锥的底面边长为,高为,则此棱锥的表面积______. 习题演练 练习3：正三棱台上、下底面边长分别是2和4,高为1,则正三棱台的侧面积为______. 习题演练 1、如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____. 变式：如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为___________. 解析：六个面的中心构成的多面体共8个面， 每个侧面都是全等的正三角形，且正三角形的边长为， 所以表面积为8××（）2×＝4. 4 习题演练 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（　C　） A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2 解析：由题图可知，三棱锥D1－AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥＝4××（a）2×＝2a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶.故选C. C 习题演练 BC (多)已知长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，则（ ） A.长方体的表面积为20; B.长方体的体积为6: C.沿长方体表面从到的最短距离为 D.沿长方体表面从到的最短距离为 习题演练 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱柱的体积：如果棱柱的底面积是，高是， 那么这个棱柱的体积. (是正方体的棱长) (，是长方体的长、宽、高) 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. h s 新知生成 “幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。 前后体积不变 底面积和高都相等的棱柱，其体积也相等 祖暅原理 祖暅（５世纪—６世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡遒县 （今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家．祖暅在数学上做出了突出贡献，他在实践的基础上，于５世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”． “势”即是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为： 夹在两个