精品解析：上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷

2023学年青浦区第二学期高三年级学业质量调研 数 学 试 卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.04 学生注意： 1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题． 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集为____________． 2. 已知向量，，则____________． 3. 已知复数，则____________． 4. 的二项展开式中的常数项为______. 5. 设随机变量服从正态分布，若，则实数_____． 6. 椭圆离心率为，则____________． 7. 已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为____________． 8. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 9. 对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是____________． 10. 从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________． 11. 如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率__________． 12. 如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 函数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 14. 已知点是抛物线C：上一点到拋抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件， 15. 设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（ ）． A. B. C. D. 16. 如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）． A. 2个极大值点，1个极小值点 B. 3个极大值点，2个极小值点 C. 2个极大值点，无极小值点 D. 3个极大值点，无极小值点 三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 对于函数，其中，． （1）求函数的单调增区间； （2）在锐角三角形中，若，，求的面积． 18. 如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点． （1）求证：面面； （2）求二面角余弦值大小． 19. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 （1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． （2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 20. 已知双曲线，，分别为其左、右焦点． （1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程； （2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； （3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． （1）若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； （2）若，判断数列否为周期数列，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”充要条件是“是周期数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年青浦区第二学期高三年级学业质量调研 数 学 试