专题41 数列求和 -2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题41 数列求和 【知识点总结】 求数列前项和的常见方法如下： （1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式． （2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列． （3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律． （4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项． （5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和． 【典型例题】 例1．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ） A． B． C． D． 例2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2024·高三·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（    ） A．2045 B．2046 C．4093 D．4094 例4．（2024·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则 ． 例5．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 . 例6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 例7．（2024·高三·山西太原·期末）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例8．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）等差数列的前项和为，其中； (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和. 例9．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求． 例10．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，证明：． 例11．（2024·高二·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 例12．（2024·高三·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（    ） A．2023 B．4046 C．2022 D．4044 2．（2024·高二·全国·课时练习）已知函数，数列满足，则（    ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足，，则其前6项之和是（　　） A．16 B．20 C．33 D．120 二、多选题 4．（2024·高二·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·高二·安徽蚌埠·阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ． 6．（2024·高三·全国·阶段练习）已知数列满足，则 ， . 7．（2024·陕西西安·二模）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ． 8．（2024·高三·河南·专题练习）数列，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前50项的和 . 9．（2024·高三·河南焦作·期末）已知数列中，，且，则的前12项和为