专题39 等差数列、等比数列综合应用 -2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题39 等差数列、等比数列综合应用 【知识点总结】 一、基本概念 1、数列 （1）定义． 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列． （2）数列与函数的关系． 从函数的角度来看，数列是特殊的函数．在中，当自变量时，所对应的函数值就构成一数列，通常记为，所以数列有些问题可用函数方法来解决． 2、等差数列 （1）定义． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示，即． （2）等差数列的通项公式． 若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，是关于的一次型函数．或，公差（直线的斜率）（）． （3）等差中项． 若成等差数列，那么叫做与的等差中项，即或．在一个等差数列中，从第2项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项． （4）等差数列的前项和（类似于），是关于的二次型函数（二次项系数为且常数项为0）．的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上． 3、等比数列 （1）定义． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，则该数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母表示，即． （2）等比数列的通项公式． 等比数列的通项，是不含常数项的指数型函数． （3）． （4）等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，即或（两个同号实数的等比中项有两个）． （5）等比数列的前项和 二、基本性质 1、等差数列的性质 （1）等差中项的推广． 当时，则有，特别地，当时，则有． （2）等差数列线性组合． ①设是等差数列，则也是等差数列． ②设是等差数列，则也是等差数列． （3）等差数列的单调性及前项和的最值． 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （4）其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则为等差数列，公差为． 2、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 3、等差数列与等比数列的转化 （1）若为正项等比数列，则为等差数列． （2）若为等差数列，则为等比数列． （3）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【典型例题】 例1．（2024·高三·重庆·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（2024·高三·河南·阶段练习）记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（    ） A．2 B． C． D． 例3．（2024·北京海淀·一模）已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例4．（2024·四川南充·二模）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（    ） A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 例5．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．9 B．16 C．21 D．25 例6．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 例7．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·宁夏固原·一模）已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 例9．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ． 例10．（2024·高三·上海·专题练习）已知等比数列的前n项和为，且满足，则实数λ的值是 ． 例11．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比 ． 例12．（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ． 例13．（2024·青海·二模）等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，记为数列前项的和，若，求． 例14．（2024·四