精品解析：北京市第二中学2023-2024学年高二下学期学段考试数学试卷

北京二中2023～2024学年度第四学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修Ⅱ 命题人：范方兵 审核人：覃怡 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 为了得到函数图象，只需要把函数的图象上（ ） A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 2. 已知等差数列前9项的和为27，，则 A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 3. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若则 B. 若则 C 若则 D. 若则 4. 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A. B. 1 C. D. 2 5. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A. B. C. D. 6. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 12贝克 B. 12e贝克 C. 24贝克 D. 24e贝克 7. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（ ） A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3 8. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 9. 已知数列1，，，…，，…，其前n项和为，则正整数n的值为（ ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11 若直线经过点，则（ ）． A B. C. D. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 13. 已知函数，为的导函数，则的值为__________. 14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 15. 用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.（用数字作答） 16. 如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，，点到平面的距离为______． 17. 在中，角，和所对的边长为，和，面积为，且为钝角，则__；的取值范围是___． 18. 对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立； ④若对任意的，都有，则有. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2正方形，，，E为BC的中点，F为PD的中点． （1）求证：平面PAB； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的正弦值． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与y轴的交点为，求的最小值. 21. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 22. 已知函数f(x)=x+alnx(a∈R). （1）当时，求函数f(x)的极值; （2）若不等式对任意x>0恒成立，求a的取值范围. 23. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． （1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； （2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值； （3）若数列不是连续等项数列，而数