7.1.1 数系的扩充和复数的概念-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 七 章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程. 2.理解复数的概念、表示法及相关概念. 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 4.通过复数概念的学习,培养数学抽象素养. 教学目标 PART.01 复习导入 复习导入 重要数集： 思考：“数”是万物的本原，你知道这些数是怎么来的吗？ PART.02 数系的扩充 概念讲解 今天真顺，可是我现在共捕了多少头野猪呢？ 有办法了，用结绳来计数！ 我真是天才！ 计数的需要 自然数 被“数”出来的自然数 远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5…… 相反量的需要 负数 被“欠”出来的负数 东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法． 概念讲解 该如何记出入账呢? 等额公平分配的需要，产生了分数 等额公平分配的需要 分数 被“分”出来的分数 分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾. 概念讲解 毕达哥拉斯（约公元前560—480年） 1 1 ? 度量计算的需要 无理数 边长为1的正方形的对角线长是多少? 被“推”出来的无理数 约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。 概念讲解 观察数系扩充的过程，结合方程的解，体会熟悉扩充的必要性和“规则” 随着社会发展，数系在不断扩充． 同时，数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 概念讲解 概念讲解 思考1：我们知道，像方程在实数集上无解，那么，能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，引进新的数，使方程有解？ 我们设想，引入一个新数，使得是方程的解， 即： . 是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“y”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 概念讲解 思考2：把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? 根据以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi ; 把实数a与bi相加，结果记作a+bi 。 注意到所有实数以及都可以写成)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中 概念讲解 1.复数的定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，规定 2.复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集． 3.复数的表示方法 复数通常用字母表示，即，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部． 4.复数相等的充要条件 在复数集中任取两个数.我们规定：与相等当且仅当且. 概念讲解 5.共轭复数： 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，记作和 即, 例题剖析 例1.解方程： 例2.请说出下列复数的实部和虚部： PART.03 复数的分类 概念讲解 问题1：复数是实数的充要条件是什么？ 问题2：复数的充要条件是什么？ 问题3：复数什么时候是虚数？ 问题4：复数什么时候是纯虚数？ 概念讲解 复数的分类 概念讲解 问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集之间的关系？ 例题剖析 例3.当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数 解： (1)当，即时，复数是实数. (2)当，即时，复数是虚数. (3)当，且时，即时，复数是纯虚数. 分析：这因为，所以，都是实数。由复数 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的取值 例题剖析 例题剖析 概念讲解 例4.若，，且，求的值。 解：由，得且， 解得，， 所以或 例题剖析 例5.若不等式成立，求实数的值。 解： (1)有两个复数相等的充要条件得 ，解得 故实数分别为，. (2)依题意有，得， 因此. PART.04 课堂小结 课堂小结 练习：实数m为何值时,z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i是下列数? (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解：(1)若z为实数,则 即解得m=-2. ∴当m=-2时,z为实数. (2)若z是虚数,则 即解得m≠-2且m≠-1. ∴当m≠-2且m≠-1时,z为虚数. (3)若z为纯虚数,则 即即解得m=0. ∴当m=0时,z为纯虚数. $$