7.1.2 复数的几何意义（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 7.1.2 复数的几何意义 第七章 复数 学习目标 1 2 3 理解复数的两个几何意义 理解复平面、实轴、虚轴、模及共轭复数的概念. 能用复数的几何意义解答问题，培养直观想象的核心素养. 复习回顾 2. 复数z=a+bi (a、bR)中a叫z的 、b叫z的 . 实部 虚部 1. 虚数单位i：i2= . -1 3. 复数的分类 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 4. 复数相等 新课导入 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 实数a 数轴上的点A (形) (数) 一一对应 能否类比实数的几何意义推理出复数的几何意义呢？ 新知探究 问题1 根据复数的代数形式，一个复数由什么唯一确定？ z=a+bi (a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 任一复数z=a+bi都可由一个有序实数对(a,b)唯一确定. 根据复数相等的定义，反之也对. 追问 由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 新知探究 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 有序实数对(a,b) 平面直角坐标系中的点 一一对应 一一对应 一一对应 （数） （形） 你能联想到什么？ 追问 由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 所以，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数. 概念生成 用复平面内的点表示复数 如图示, 点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)表示. Z:a+bi a b 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. x轴—实轴 y轴—虚轴 如：复平面内点（-2，3） 复数 -2+3i 原点(0,0) 0 （-2，0） -2 （0，-5） -5i 实数 纯虚数 注：实轴上的点都表示 ； 虚轴上的点都表示 . 实数 纯虚数 实轴 虚轴 除原点外， 概念生成 复数的几何意义1 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应. 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按照如下方式建立了一一对应关系. 学以致用 教材P73 O x y A B C D E F G H 1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1). 解：点A表示的复数是4+3i； 点B表示的复数是3-3i； 点C表示的复数是-3+2i； 点D表示的复数是-3-3i； 点E表示的复数是5； 点F表示的复数是-2； 点G表示的复数是5i； 点H表示的复数是-5i. 学以致用 教材P73 (1) 2+5i； (2)－3+2i； (3)2－4i； (4)－3－5i； (5) 5； (6) －3i； y O x A B C D E F 2. 已知在复平面内，描出表示下列复数的点. 新知探究 问题2 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复平面是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ a b Z:a＋bi 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 复数的几何意义2 规定: 相等的向量表示同一个复数. 方便起见，常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量 Z(a,b) 概念生成 复数的模 a b Z:a＋bi Z(a,b) 向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 问题3 类比实数绝对值的几何意义，复数的模具有怎样的几何意义？ 几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|. 典例分析 例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i. (1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量； (2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小. Z1(4,3) Z2(4,－3) 解：(1) 如图，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2. (2) 反思 点 Z1，Z2 有怎样的关系？ 对应的向量分别为 ， . 关于实轴对称 模长相等 实部相等、 虚部互为相反数、 复数z1，z2有怎样的关系? 概念生成 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 共轭复数： 表示方法：复数z的共轭复数用 表示，即 问题4 若z1,z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 关于实轴对称 模长相等 练习：复数z1=-1-2i，z2=3，z3=5i的共轭复数分别为什么？ 特别地，实数的共轭复数就是它自己本身。 典例分析 例3 设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1) |z|=1 ； (2) 1<|z|<2. 所以满足条件 |z|=1 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆． 解：（1）由 |z|=1 得，向量 的模等于 1， （2）不等式 1<|z|<2 可化为不等式 不等式的解集是以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界. 学以致用 教材P73 解：(1) 这些复数对应的向量如图示. 3. 已知复数2＋i, －2＋4i , －2i, 4, (1) 在复平面内画出这些复数对应的向量； (2) 求这些复数的模. A(2,1) B(－2,4) C(0,－2) D(4,0) (2) 能力提升 题型一 平面内复数与点的对应 例题 1. 若在复平面内，复数 对应的点满足下列条件，分别求实数的取值范围. (1) 不在实轴上； (2) 在虚轴上； (3) 在实轴下方（不包括实轴）； (4) 在虚轴右侧（不包括虚轴）； (5) 在第三象限. [解析] (1)由题意得 ，解得 且 . (2)由题意得 ，解得 . (3)由题意得 ，解得 . (4)由题意得 ，解得 . (5)由题意得 解得 故 . 能力提升 题型二 复平面内复数与向量的对应 例题 2. 向量 与 分别表示复数 与 ，则向量 表示的复数是________. [解析] 因为向量 与 分别表示复数 与 ， 所以 ， ， 又因为 ， 所以向量 表示的复数是 . <m></m> 能力提升 题型三 复数的模 例题 3. 已知复数 的虚部为 ，在复平面内它对应的向量的模为2，对应的点 在第一象限，则这个复数为_ _______. <m></m> [解析] 依题意，设复数 ， ， 则 ，解得 （负值舍去）， 所以 . 能力提升 题型三 复数的模 例题 4. 已知复数 满足 ，则在复平面中 对应的点所构成的 图形的面积为___. <m></m> [解析] 不等式 可化为 不等式 的解集是圆 外部所有的点（包含圆上的点）组成的集合， 不等式的解集是圆 内部所有的点（包含圆上的点）组成的集合， 这两个集合的交集，就是上述不等式的解集， 也就是满足条件 的点的集合， 故所求的集合是以2及 为半径的两个同心圆所围成的圆环，且包含圆环的边界， 则其面积为 . 能力提升 题型四 共轭复数 例题 5. 已知 为虚数单位，若 和 互为共轭复数， 则实数 ， 的值分别是( ) A. 3，3 B. 5，1 C. ， D. ，1 [解析] 因为 和 互为共轭复数, 所以 解得 故选D. 能力提升 例题 题型四 共轭复数 6. 已知复数 的共轭复数在复平面内对应的点在直 线 上，则实数 的值为___. [解析] 因为复数 的共轭复数为 ， 且 在复平面内对应的点 在直线 上, 所以 , 又 ， 所以 . 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1. 复平面 2. 复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 4. 共轭复数 z＝a＋bi， ＝a-bi. 3. 复数的模 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$