第04讲 二次函数抛物线中全等三角形和相似三角形存在性问题-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第4讲 二次函数抛物线中全等三角形和相似三角形存在性问题（原卷版）专题解读及题型预览 专题选题方向紧扣中考，选择2024中考模拟题及2023中考题。例题典型，题型全面。 类型一 全等三角形的存在性问题 类型二 直角三角形相似的存在性问题 类型三 非直角三角形相似的存在性问题 知识梳理及方法指引 1．全等三角形的存在性问题 （1）找确定对应点 对应点根据对应边和对应角确定，在两个全等的三角形中，相等的边一定是对应边，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的边或角． （2）分类讨论 按照角度和边相等，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解． 2．直角三角形相似的存在性问题 由相似三角形产生的存在性问题可分为相似的直角三角形和相似的非直角三角形两类，其中相似的直角三角形考查较多且相对简单． （1）找确定对应点 对应点根据对应角确定，在两个相似的三角形中，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的角，通常是两个直角对应相等． （2）分类讨论 按照角度和边，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解． 几何法：按照对应边成比例分类讨论，列等式． 解析法：按照对应角相等，利用斜率，进行联立求解． 3．非直角三角形相似的存在性问题 （1）找确定对应点 对应点根据对应角确定，在两个相似的三角形中，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的角，从而确定对应点． （2）分类讨论 按照角度和边，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解． 几何法：按照对应边成比例分类讨论，列等式． 解析法：按照对应角相等，利用斜率，进行联立求解． 典例剖析及针对训练 【典例1】（2024•雁塔区四模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c经过B、C两点，并且与x轴另一个交点为A，已知直线BC表达式为y＝x﹣3，且OC＝3OA． （1）求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点M的坐标； （2）点D是点C关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点M，并在图象上可以找到点E，使得△ECD与△ACD全等，请写出平移过程并说明理由． 【针对训练】 1．（2024•西和县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点B（1，0），抛物线对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标； （3）点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标． 2．（2024•松山区一模）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+3经过点B（1，0）和（3，﹣12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，则点P的坐标为 　 　； 类型二 直角三角形相似的存在性问题 8．（2024•亳州一模）已知抛物线经过点和． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D． ①求证：△OBC是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【针对训练】 1．（2024•平凉一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．连接AC，BC．D为OB上的动点，过点D作ED⊥x轴，交抛物线于点E，交BC于点G． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，设点D的坐标为（m，0），请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出当m为何值时EG有最大值，最大值是多少？ （3）点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O，D，G为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024•广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一动点且在AC上方，过点P作PD⊥AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）过P作PE⊥x轴于E，交AC于F．求①sin∠PFD的值；②PD的最大值； （3）连接PC，是否存在一点P，使得△PCD与△ACO相似，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024•雁塔区模拟）如图，已知抛物线L经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，D在y轴的负半轴