专题34 掌握直线方程的基本类型 -2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题34 掌握直线方程的基本类型 【考点预测】 一、基本概念 斜率与倾斜角 我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即． 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 二、基本公式 1、两点间的距离公式 2、的直线斜率公式 3、直线方程的几种形式 （1）点斜式：直线的斜率存在且过， 注：①当时，；②当不存在时， （2）斜截式：直线的斜率存在且过， （3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线． 注：可表示经过两点的所有直线 （4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线． （5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量） 三、两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 四、三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【典型例题】 例1．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·高三·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 例4．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 例7．（2024·高二·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 例8．（2024·全国·模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为 ， . 例9．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 例10．（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ． 例11．（2024·高三·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 例12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 . 例13．（2024·高二·全国·课时练习）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ． 例14．（2024·高二·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 . 例15．（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .    例16．（2024·高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 例17．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）当点到直线距离最大时，值为 ． 例18．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ． 例19．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·福建漳州·期末）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预