陕西省西安中学2024届高三模拟考试（五）理科数学试题

西安中学高2024届高三模拟考试（五） 理科数学 （满分：150分 时间：120分钟） 命题人：党江平 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合，，若，则（ ） A．2 B．3 C．1 D．1或2 2．已知复数，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ，若，则实数的值为（ ） A．1 B．0 C． D． 4．西安地铁2号线是西安市第一条建成运营的地铁线路，也是贯穿市区南北中轴线的核心线路．某天放学甲乙两位同学同时从凤城五路站坐上了开往常宁宫方向的地铁，甲同学将在体育场站之前的任意一站下车，乙同学将在航天城站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知是等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线和平面，且，则“”是“平面”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 7．已知抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在点处的切线均经过坐标原点，其中，，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，若是的一个极大值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10.如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 11．已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（ ） A． B． C． D． 12．已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．已知随机变量服从正态分布，且，则______． 14．已知，，则的最小值为________． 15．已知函数，若，则的取值范围为________． 16．已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的右支交于点，与双曲线的渐近线交于点，直线与轴交于点，若，则________． 三、解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题） （一）必考题（共60分） 17.（12分）在中，角的对边是，已知. （1）证明：； （2）若边上的高为，边上的中线为，求的面积． 18.（12分）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. （1）求投掷3次骰子后球在乙手中的概率； （2）设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为,求随机变量的分布列和数学期望. 19.（12分）已知椭圆的左右焦点分别为,过的动直线与交于两点，当轴时，且直线与直线的斜率之积为. （1）求椭圆方程； （2）若的内切圆半径为，求直线的方程． 20.（12分）如图所示，三棱柱所有棱长都为2，，为中点，为与交点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值． 21.（12分）已知函数，. （1）求证：当，； （2）若，恒成立，求实数的取值范围. （二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.） 22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为． （1）写出直线和曲线的直角坐标方程； （2）若与有公共点，求的取值范围． 23.（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知关于的不等式有解． （1）求实数的取值范围； （2）若均为正数，为的最大值，且．求证：． 理科数学 第 2 页 共 3 页 理科数学 第 1 页 共 3