专题07向量综合题归类（10题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年高一数学下学期期中真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）

专题07 向量综合应用归类（10 题型） 目录 题型一：极化恒等式 1 题型二： 极化恒等式综合 1 题型三： 奔驰定理 2 题型四：奔驰定理综合 3 题型五：向量夹角 5 题型六：复合型向量夹角 5 题型七：投影向量 6 题型八：向量模与长度最值型 6 题型九：建系法解向量难题 7 题型十：三角换元型建系法解向量综合题 7 题型一：极化恒等式 1．（21-22高一下·重庆沙坪坝期中）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 2．（22-23高一下·北京怀柔·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一辽宁锦州·期中）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高一 ·江苏常州·期中）在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ． 题型二： 极化恒等式综合 1.（多选）（22-23高一 云南·期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（    ） A．-3 B． C．20 D．15 2.（21-22高一上·湖南长沙期中）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是 ． 3.（21-22高一下·福建厦门期中）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 . 4.（22-23高一下·广东潮州期中）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 题型三： 奔驰定理 1.（20-21高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 2.（四川省凉山彝族自治州西昌市2020-2021学年高一下学期期中数学（理）试题）已知为内一点，且，则与面积比为（       ） A． B． C． D． 3.（2023 ·河南安阳·高一统考期中）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 4.（2023·陕西安康·统考期中）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：奔驰定理综合 1.（21-22高一下·山东济宁·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 2.（多选）（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 3.（多选）（21-22高一下·湖南岳阳期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为的内心，，则 D．若O为的垂心，，则 题型五：向量夹角 1.（21-22高一·四川巴中·期中）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高一 ·河北沧州期中）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既