4.2.1对数的运算性质课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

对数的运算性质 2 自 主 探 新 知 预 习 3 logaM－logaN logaM＋logaN nlogaM 4 5 6 7 8 9 合 作 攻 重 难 探 究 10 对数运算性质 11 12 13 14 15 对数运算性质的应用 16 17 18 19 20 当 堂 固 双 基 达 标 21 22 23 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握对数的运算性质（重点） 2.理解对数的运算性质推导过程．(难点) 通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养. 对数的运算性质 阅读教材有关内容，完成下列问题． 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则 (1)loga(MN)＝ ； (2)logaMn＝ (n∈R)； (3)logaeq \f(M,N)＝ . 思考：如何证明对数的运算性质(3)． [提示]　设logaM＝p，logaN＝q.则由对数定义，得 ap＝M，aq＝N； 因为eq \f(M,N)＝eq \f(ap,aq)＝ap－q， 所以p－q＝logaeq \f(M,N)； 即logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN. 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．22＝4与log24＝2 B．4－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)与log4eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2) C．(－2)3＝－8与log(－2)(－8)＝3 D．3－2＝eq \f(1,9)与log3eq \f(1,9)＝－2 C　[在对数式logaN中，a>0，且a≠1，故选C.] 2．若lg(ln x)＝0，则x＝________. e　[由已知得ln x＝100＝1，∴x＝e1＝e.] 3．lg 2＋lg 5＝________. 1　[lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.] 4．若log2eq \f(2x－5,3)＝1，则x＝________. eq \f(11,2)　[由eq \f(2x－5,3)＝2⇒2x＝11⇒x＝eq \f(11,2).] 【例】求下列各式的值． 2log32－log3eq \f(32,9)＋log38＋3log5eq \f(1,5). [解]原式＝log34－log3eq \f(32,9)＋log38－3log55 ＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))－3＝log39－3＝2－3＝－1. 对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． 计算： eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245). [解]　原式＝eq \f(1,2)(lg 32－lg 49)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(lg 49＋lg 5) ＝eq \f(1,2)lg 32－eq \f(1,2)lg 49－2lg 2＋eq \f(1,2)lg 49＋eq \f(1,2)lg 5 ＝eq \f(5,2)lg 2－2lg 2＋eq \f(1,2)lg 5 ＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5 ＝eq \f(1,2)lg 10 ＝eq \f(1,2). 【例】　已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z. 求证：eq \f(1,2y)＝eq \f(1,z)－eq \f(1,x). [思路探究]　令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解． [解]　令3x＝4y＝6z＝m， 则xlg 3＝ylg 4＝zlg 6＝lg m ∴x＝eq \f(lg m,lg 3)，y＝eq \f(lg m,lg 4)，z＝eq \f(lg m,lg 6)， ∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(lg 6,lg m)－eq \f(lg 3,lg m)＝eq \f(lg 2,lg m)＝eq \f(1,2y). 取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算. 已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________. 0　[令315a＝55b＝153c＝m，则15alg 3＝5blg 5＝3clg 15＝lg m ∴a＝eq \f(lg m,15lg 3)，b＝eq \f(lg m,5lg 5)，c＝eq \f(lg m,3lg 15) ∴5ab－bc－3ac＝eq \f(lg m