4.2一元二次不等式及其解法课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2　一元二次不等式及其解法 课标要求 素养要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养. 新知探究 提示　1.设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h， 移项整理，得x2＋10x－7 200>0. 显然Δ>0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根， 即x1＝80，x2＝－90， 然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象，得不等式的解集为{x|x<－90，或x>80}. 在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h. 1. 一元二次不等式的求解要充分利用“三个二次”的关系 一元二次不等式的概念 一元二次不等式 定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式 表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法 拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.mx2－5x>0是一元二次不等式.( ) 2.若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.( ) 3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}.( ) 提示　1.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式.2.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.3.当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立. × × × [微训练] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表： 则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________. 答案　{x|x<－2，或x>3} x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 [微思考] 1.“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)有什么样的关系？ 提示　 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根　 2.若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 题型一　解不含参数的一元二次不等式 【例1】　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 规律方法　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ≤0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ>0，求出对应方程的根写出解集. 【训练1】　解下列不等式： (1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0； (3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x). 解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞6}. (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞2}. (3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 题型二　解含参数的一元二次不等式 【例2】　解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2＞0； (2)x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解　(1)Δ＝a2－16，