题型四 类型二 动点类-【一战成名新中考·5行卷】2023贵州中考数学复习·方向性试题强化训练

５行卷·贵州数学 类型二　动点类（铜仁２０２１．２５；黔西南２０２２．２５） ５．在等边三角形ＡＢＣ中，点Ｅ为线段ＡＢ上一动点，点Ｅ与Ａ、Ｂ不重合，点Ｄ在ＣＢ的延长线上， 且ＥＤ＝ＥＣ．试确定ＡＥ与ＢＤ的数量关系． 【特例研究】 （１）如图①，当点Ｅ为ＡＢ的中点时，ＡＥ　＝　ＢＤ（填“＞”“＜”或“＝”）； 【一般探索】 （２）如图②，当点Ｅ为 ＡＢ边上任意一点时，（１）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出 ＡＥ与ＢＤ的数量关系；若成立，请说明理由． 【拓展应用】 （３）在等边三角形ＡＢＣ中，点Ｅ在ＡＢ的延长线上，点Ｄ在ＣＢ的延长线上，且ＥＤ＝ＥＣ，ＡＥ＝ ２，ＡＣ＝１，求ＣＤ的长． 图① 　　　 图② 第５题图 解：（１）＝； （２）当点Ｅ为ＡＢ边上任意一点时，（１）中的结论成立，理由如下：如解图①，过Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ 交ＡＣ于Ｆ， ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ， ∴∠ＡＥＦ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＦＥ＝∠ＡＣＢ＝６０°，即∠ＡＥＦ＝∠ＡＦＥ＝∠Ａ＝６０°， ∴△ＡＥＦ是等边三角形，∴ＡＥ＝ＥＦ＝ＡＦ， ∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＦＥ＝６０°， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＥＦＣ＝１２０°，∠Ｄ＋∠ＢＥＤ＝∠ＦＣＥ＋∠ＥＣＤ＝６０°， ∵ＤＥ＝ＥＣ，∴∠Ｄ＝∠ＥＣＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＥＣＦ， 在△ＤＥＢ和△ＥＣＦ中， ∠ＤＢＥ＝∠ＥＦＣ， ∠ＤＥＢ＝∠ＥＣＦ， ＤＥ＝ＥＣ { ， ∴△ＤＥＢ≌△ＥＣＦ（ＡＡＳ）， ∴ＢＤ＝ＥＦ，∴ＡＥ＝ＢＤ； （３）如解图②，过Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＣ的延长线于Ｆ，则△ＡＥＦ为等边三角形，∠ＥＣＤ＝∠ＣＥＦ， ∴ＡＦ＝ＡＥ＝ＥＦ＝２，∠Ｆ＝６０°， ∵ＥＣ＝ＥＤ，∴∠Ｄ＝∠ＥＣＤ，∴∠ＣＥＦ＝∠Ｄ， ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＢＣ＝ＡＣ＝１，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∴∠Ｆ＝∠ＤＢＥ， 在△ＣＥＦ和△ＥＤＢ中， ∠Ｆ＝∠ＤＢＥ， ∠ＣＥＦ＝∠Ｄ， ＥＣ＝ＤＥ { ， ∴△ＣＥＦ≌△ＥＤＢ（ＡＡＳ）， １５ ５行卷·贵州数学 ６．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｍ、Ｎ分别是射线ＣＢ和射线ＤＣ上的动点，且始终∠ＭＡＮ＝４５°． （１）如图①，当点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＣ、ＤＣ上时，请求线段ＢＭ、ＭＮ、ＤＮ之间的数量关系； （２）如图②，当点Ｍ、Ｎ分别在ＣＢ、ＤＣ的延长线上时，（１）中的结论是否仍然成立，若成立，给 予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明； （３）如图③，当点Ｍ、Ｎ分别在ＣＢ、ＤＣ的延长线上时，若ＣＮ＝ＣＤ＝６，设ＢＤ与ＡＭ的延长线交 于点Ｐ，与ＡＮ交于点Ｑ，直接写出ＡＱ、ＡＰ的长． 图① 　　 图② 　　 图③ 第６题图 解：（１）如解图①，在射线ＭＢ上截取ＢＥ＝ＤＮ，连接ＡＥ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＝９０°， ∴∠ＡＢＥ＝９０°＝∠Ｄ， 在△ＡＢＥ和△ＡＤＮ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＡＢＥ＝∠Ｄ， ＢＥ＝ＤＮ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＡＤＮ（ＳＡＳ）， ∴ＡＥ＝ＡＮ，∠ＥＡＢ＝∠ＮＡＤ，∴∠ＥＡＮ＝∠ＢＡＤ＝９０°， ∵∠ＭＡＮ＝４５°，∴∠ＥＡＭ＝４５°＝∠ＮＡＭ， 在△ＡＥＭ和△ＡＮＭ中， ＡＥ＝ＡＮ， ∠ＥＡＭ＝∠ＮＡＭ， ＡＭ＝ＡＭ { ， ∴△ＡＥＭ≌△ＡＮＭ（ＳＡＳ），∴ＭＥ＝ＭＮ， 又∵ＭＥ＝ＢＥ＋ＢＭ＝ＢＭ＋ＤＮ，∴ＢＭ＋ＤＮ＝ＭＮ； （２）（１）中的结论不成立，ＤＮ－ＢＭ＝ＭＮ．证明如下： 如解图②，在ＤＣ上截取ＤＦ＝ＢＭ，连接ＡＦ，则∠ＡＢＭ＝９０°＝∠Ｄ， 在△ＡＢＭ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＡＢＭ＝∠Ｄ， ＢＭ＝ＤＦ { ， ∴△ＡＢＭ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ）， ∴ＡＭ＝ＡＦ，∠ＢＡＭ＝∠ＤＡＦ，∴∠ＢＡＭ＋∠ＢＡＦ＝∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＤ＝９０°， 即∠ＭＡＦ＝∠ＢＡＤ＝９０°， ∵∠ＭＡＮ＝４５°，∴∠ＭＡＮ＝∠ＦＡＮ＝４５°， 在△ＭＡＮ和△ＦＡＮ中， ＡＭ＝ＡＦ， ∠ＭＡＮ＝∠ＦＡＮ， ＡＮ＝ＡＮ { ， ∴△ＭＡＮ≌△ＦＡＮ（ＳＡＳ），∴ＭＮ＝ＦＮ， ∵ＮＦ＝ＤＮ－ＤＦ＝ＤＮ－ＢＭ，∴ＤＮ－ＢＭ＝ＭＮ； （３）ＡＱ＝２槡５；ＡＰ＝３槡１０．解法提示见本册ＰＸ ２５ ５行卷·贵州数学 方 向 性 试 题 题 型 专 练 ＣＨ＝ ＣＤ２＋ＤＨ槡 ２＝ ａ２＋（１３ａ）槡 ２＝槡１０３ ａ， ∵ＡＧＡＣ＝ ＡＨ ＣＨ， ∴ 槡 ３ ２ａ ＝ ２ ３ａ 槡１０ ３ ａ ， 解得ａ＝ 槡３５２， 即ＢＣ＝ 槡３５２． ５．解：（１）＝；【解法提示】∵△ＡＢＣ为等边三角形，点 Ｅ为 ＡＢ 的中点，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，ＣＥ平分∠ＡＣＢ，ＡＥ＝ＢＥ，∴ ∠ＥＣＢ＝１２∠ＡＣＢ＝３０°，∵ＤＥ＝ＣＥ，∴∠Ｄ＝∠ＥＣＢ＝３０°， ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＋∠ＤＥＢ，∴