题型四 类型一 操作类-【一战成名新中考·5行卷】2023贵州中考数学复习·方向性试题强化训练

５行卷·贵州数学 题型四　几何图形探究题 类型一　操作类 　考向１　折叠（贵阳２０２２．２５） １．综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究． （１）希望小组将如图①所示的矩形纸片ＡＢＣＤ沿过点Ｂ的直线折叠，使点Ａ落在ＢＣ边上的点 Ａ１处，折痕为ＢＥ．图①中四边形ＡＢＡ１Ｅ的形状是　正方形　； （２）智慧小组准备了一张如图②所示的长、宽之比为（槡２＋１）∶槡２的矩形纸片ＡＢＣＤ，用希望小 组的方法折叠纸片，得到四边形ＡＢＡ１Ｅ，接着沿过点Ｃ的直线折叠纸片，使点Ｄ落在ＥＡ１ 上的点Ｍ处，折痕为ＣＦ．求∠ＭＣＤ的度数； （３）勤奋小组拿着一张如图③所示的长为５，宽为２的矩形纸片ＡＢＣＤ，利用希望小组的方法 折叠纸片，得到四边形ＡＢＡ１Ｅ，在ＥＤ上取一点Ｆ（不与点Ｄ，Ｅ重合），沿ＣＦ折叠△ＣＤＦ． 点Ｄ的对应点为Ｍ，射线ＦＭ交直线ＢＣ于点Ｙ． ①ＦＹ与ＣＹ的数量关系为　ＦＹ＝ＣＹ　； ②当射线ＦＭ经过△ＢＡ１Ｅ的直角边的中点时，直接写出ＦＤ的长． 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第１题图 解：（１）正方形； （２）由（１）得，四边形ＡＢＡ１Ｅ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∵∠ＥＡ１Ｃ＝∠Ａ１ＣＤ＝∠Ｄ＝９０°， ∴四边形Ａ１ＣＤＥ是矩形，∴ＥＤ＝Ａ１Ｃ， 由折叠得ＣＭ＝ＣＤ＝ＡＢ， ∵ＡＤＡＢ＝ 槡２＋１ 槡２ ，∴ＡＢ＋ＥＤＡＢ ＝ 槡２＋１ 槡２ ， ∴ＡＢ＝槡２ＥＤ，∴ＣＭ＝槡２Ａ１Ｃ， ∵Ａ１Ｃ ２＋Ａ１Ｍ ２＝ＣＭ２，∴Ａ１Ｃ ２＋Ａ１Ｍ ２＝（槡２Ａ１Ｃ） ２， ∴Ａ１Ｃ＝Ａ１Ｍ，∴∠Ａ１ＣＭ＝∠Ａ１ＭＣ＝４５°， ∴∠ＭＣＤ＝９０°－∠Ａ１ＣＭ＝４５°， ∴∠ＭＣＤ的度数是４５°； （３）①ＦＹ＝ＣＹ； ②ＦＤ的长为４－２槡３或 ６－２槡６ ３ ． 详解见本册ＰＸ ７４ ５行卷·贵州数学 ２．在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题． 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝３，∠Ａ＝９０°，点Ｄ在边ＡＢ上运动，点Ｅ在边ＢＣ上运动． （１）如图②，当沿ＤＥ折叠，点Ｂ落在边ＡＣ的点Ｂ′处，且ＤＢ′∥ＢＣ时，发现四边形ＢＥＢ′Ｄ是菱 形．请证明此结论； （２）如图③，奇异小组同学的折叠方法是沿 ＤＥ折叠，点 Ｂ落在点 Ｂ′处，延长 ＤＢ′交 ＡＣ于点 Ｆ，ＤＦ∥ＢＣ，点Ｇ在边ＢＣ上运动，沿ＦＧ折叠使点Ｃ落在线段ＤＢ′的中点Ｃ′处，求线段ＤＦ 的长； （３）沿ＤＥ折叠，点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在边ＡＣ的三等分点处，请借助图①探究，并直接写出 ＢＤ的长． 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第２题图 （１）证明：如解图①，由折叠得ＤＢ＝ＤＢ′，ＥＢ＝ＥＢ′，∠１＝∠２， ∵ＤＢ′∥ＢＣ，∴∠２＝∠３，∴∠１＝∠３，∴ＢＤ＝ＢＥ， ∴ＢＤ＝ＢＥ＝Ｂ′Ｄ＝Ｂ′Ｅ，∴四边形ＢＥＢ′Ｄ是菱形； （２）解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝３，∴ＢＣ＝ ＡＢ２＋ＡＣ槡 ２＝３槡２， ∵ＤＦ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＦ， 设ＢＤ＝ＣＦ＝ｘ，则ＡＤ＝３－ｘ，由折叠可知：ＤＢ′＝ＢＤ＝ｘ，Ｃ′Ｆ＝ＣＦ＝ｘ， 又∵Ｃ′为ＤＢ′的中点，∴ＤＣ′＝１２Ｂ′Ｄ＝ １ ２ｘ，∴ＤＦ＝ １ ２ｘ＋ｘ＝ ３ ２ｘ， ∵ＤＦ∥ＢＣ，∴△ＡＤＦ∽△ＡＢＣ， ∴ＡＤＤＦ＝ ＡＢ ＢＣ，∴ ３－ｘ ３ ２ｘ ＝ ３ ３槡２ ， 解得ｘ＝１８槡２－２４，∴ＤＦ＝ ３ ２ｘ＝ ３ ２×（１８槡２－２４）＝２７槡２－３６， ∴线段ＤＦ的长为２７槡２－３６； （３）解：ＢＤ的长为５３或 １３ ６．【解法提示】①当ＡＢ′＝ １ ３ＡＣ＝１时，如解图②，设ＢＤ＝Ｂ′Ｄ＝ａ，则ＡＤ ＝３－ａ，在Ｒｔ△ＡＤＢ′中，∠Ａ＝９０°，∴（３－ａ）２＋１２＝ａ２，∴ａ＝５３；②当ＡＢ′＝ ２ ３ＡＣ＝２时，如 解图③，设ＢＤ＝Ｂ′Ｄ＝ａ，则ＡＤ＝３－ａ，在Ｒｔ△ＡＤＢ′中，∠Ａ＝９０°，∴（３－ａ）２＋２２＝ａ２，∴ａ ＝１３６，综上，ＢＤ的长为 ５ ３或 １３ ６． ８４ ５行卷·贵州数学 　考向２　旋转（贵阳２０２０．２５；黔西南２０２１．２５） ３．（１）【问题发现】 如图①，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中点，以ＣＤ为一边作正方形 ＣＤＥＦ，点Ｅ与点Ａ重合．请直接写出线段ＢＥ与ＡＦ的数量关系　ＢＥ＝槡２ＡＦ　； （２）【类比探究】 在（１）的条件下，将正方形ＣＤＥＦ绕点Ｃ旋转至如图②所示的位置，连接ＢＥ，ＣＥ，ＡＦ，请猜 想上述结论的线段ＢＥ和ＡＦ的数量关系还成立吗？说明你的理由； （３）【拓展延伸】 在（１）（２）的条件下，当正方形ＣＤＥＦ旋转到Ｂ，Ｅ，Ｆ三点共线时，请直接写出线段ＡＦ的长． 图① 　　　 图② 　　　 备用图 第３题图 解：（１）ＢＥ＝槡２ＡＦ；【解法提示】在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，Ａ