题型三 类型一 纯性质综合题-【一战成名新中考·5行卷】2023贵州中考数学复习·方向性试题强化训练

５行卷·贵州数学 题型三　二次函数 　　　　　　　　　　　　　　　　类型一 纯性质综合题（贵阳２０２２．２４；遵义２０２２． ２２；２０２１．２３；安顺２０２２．２４） １．如图，已知抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ－２． （１）若Ｐ（ｍ，－２）是该抛物线上一点，求 ｍ 的值； （２）若点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）都在该抛物线 上，且ｘ１＜ｘ２＜ １ ２，试比较ｙ１，ｙ２的大小， 并说明理由； （３）直接写出当０≤ｘ＜３时ｙ的取值范围． 第１题图 解：（１）把Ｐ（ｍ，－２）代入 ｙ＝ｘ２－ｘ－２得 ｍ２－ｍ－２＝－２，解得ｍ１＝０，ｍ２＝１， ∴ｍ的值为０或１； （２）ｙ１＞ｙ２，理由如下： ∵抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ－２开口向上，对称轴为 直线ｘ＝１２， ∴当ｘ＜１２时，ｙ随ｘ的增大而减小， ∵ｘ１＜ｘ２＜ １ ２， ∴ｙ１＞ｙ２； （３）－９４≤ｙ＜４．【解法提示】∵ｙ＝ｘ ２－ｘ－２ ＝（ｘ－１２） ２－９４，∴当ｘ＝ １ ２时，ｙｍｉｎ＝－ ９ ４， ∵０＜１２＜３，∴当０≤ｘ＜３时，ｙｍｉｎ＝－ ９ ４， ∵当ｘ＝０时，ｙ＝－２，当 ｘ＝３时，ｙ＝３２－ ３－２＝４，∴当０≤ｘ＜３时，ｙ的取值范围为 －９４≤ｙ＜４． ２．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ经过点Ａ（－４，０），Ｂ（１， ５），点Ｐ（２，ｃ），Ｑ（ｘ０，ｙ０）是抛物线上的点． （１）求抛物线的顶点坐标； （２）若ｘ０＞－６，比较ｃ与ｙ０的大小； （３）若直线 ｙ＝ｍ与抛物线交于 Ｍ、Ｎ两点 （Ｍ、Ｎ两点不重合），当ＭＮ≤５时，求ｍ 的取值范围． 解：（１）∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ经过点Ａ（－４， ０），Ｂ（１，５）， ∴ １６ａ－４ｂ＝０， ａ＋ｂ＝５{ ， 解得 ａ＝１， ｂ＝４{ ， ∴抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋４ｘ， ∵ｙ＝ｘ２＋４ｘ＝（ｘ＋２）２－４， ∴抛物线的顶点坐标为（－２，－４）； （２）∵抛物线ｙ＝ｘ２＋４ｘ的对称轴为直线 ｘ＝－２，且开口向上， ∴当ｘ＜－２时，ｙ随ｘ的增大而减小， ∵点Ｐ（２，ｃ）关于对称轴的对称点为（－６，ｃ）， ∵ｘ０＞－６， ∴当－６＜ｘ０＜２时，则ｃ＞ｙ０； 当ｘ０≥２时，则ｃ≤ｙ０； （３）设Ｍ、Ｎ的横坐标分别为ｘ１、ｘ２， ∵直线ｙ＝ｍ与抛物线交于Ｍ、Ｎ两点（Ｍ、 Ｎ两点不重合）， ∴ｘ１、ｘ２是方程ｘ ２＋４ｘ＝ｍ的两个根， ∴ｘ１＋ｘ２＝－４，ｘ１ｘ２＝－ｍ， ∵ＭＮ≤５， ∴（ｘ１－ｘ２） ２≤２５， ∴（ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２≤２５，即１６＋４ｍ≤２５， 解得ｍ≤９４， ∵抛物线的顶点坐标为（－２，－４）， ∴函数的最小值为－４， ∴－４＜ｍ≤９４                                                                    ． １４ ５行卷·贵州数学 ３．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐 标２倍的点，则把该函数称为“明德函数”， 该点称为“明德点”，例如：“明德函数”ｙ＝ ｘ＋１，其“明德点”为（１，２）． （１）函数ｙ＝ｘ２的图象上的明德点是 　； （２）若抛物线ｙ＝（ｍ－１）ｘ２＋ｍｘ＋１４ｍ上有 两个“明德点”，求ｍ的取值范围； （３）若函数ｙ＝ｘ２＋（ｍ－ｋ＋２）ｘ＋ｎ４－ ｋ ２的 图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 －１≤ｍ≤３时，ｎ的最小值为 ｋ，求 ｋ 的值． 解：（１）（０，０）或（２，４）；【解法提示】令 ｙ＝ ｘ２＝２ｘ，解得ｘ＝０或ｘ＝２，∴函数ｙ＝ｘ２的 图象上的“明德点”是（０，０）或（２，４）． （２）令ｙ＝（ｍ－１）ｘ２＋ｍｘ＋１４ｍ＝２ｘ， 整理得（ｍ－１）ｘ２＋（ｍ－２）ｘ＋１４ｍ＝０， ∵抛物线上有两个“明德点”， ∴Δ＝（ｍ－２）２－４×１４ｍ（ｍ－１）＞０且 ｍ－１≠０， 解得ｍ＜４３且ｍ≠１； （３）令ｘ２＋（ｍ－ｋ＋２）ｘ＋ｎ４－ ｋ ２＝２ｘ， 整理得ｘ２＋（ｍ－ｋ）ｘ＋ｎ４－ ｋ ２＝０， 根据题意得Δ＝（ｍ－ｋ）２－４（ｎ４－ ｋ ２）＝０， 整理得ｎ＝（ｍ－ｋ）２＋２ｋ（－１≤ｍ≤３）， 对称轴为直线ｍ＝ｋ，此时ｎ的最小值为２ｋ； 根据题意需要分类讨论： ① －１≤ｋ≤３， ｎｍｉｎ＝２ｋ＝ｋ{ ， ∴ｋ＝０； ② ｋ＞３， ｎｍｉｎ＝（３－ｋ） ２＋２ｋ＝ｋ{ ，无解； ４．直线ｙ＝－１２ｘ＋１与 ｘ轴，ｙ轴分别交于点 Ａ，Ｂ，抛物线的解析式为 ｙ＝２ｘ２ －４ａｘ＋ ２ａ２＋ａ． （１）求出点Ａ，Ｂ的坐标，用含 ａ的式子表示 抛物线的对称轴； （２）若函数ｙ＝２ｘ２－４ａｘ＋２ａ２＋ａ在３≤ｘ≤ ４时有最大值为ａ＋２，求ａ的值； （３）若 ａ＝－１，将线段