题型二 类型二 切线的判定-【一战成名新中考·5行卷】2023贵州中考数学复习·方向性试题强化训练

５行卷·贵州数学 类型二　切线的判定 ７．如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，∠ＡＢＣ＝４５°， ＯＣ∥ＡＤ，ＡＤ交 ＢＣ的延长线于点 Ｄ，ＡＢ交 ＯＣ于点Ｅ． （１）求证：ＡＤ是⊙Ｏ的切线； （２）若 ＡＥ＝５，ＢＥ＝３，求图中阴影部分的 面积． 第７题图 （１）证明：连接 ＯＡ，如 解图， ∵ＡＤ∥ＯＣ， ∴∠ＡＯＣ＋∠ＯＡＤ＝１８０°， ∵∠ＡＯＣ＝２∠ＡＢＣ＝ ２×４５°＝９０°， ∴∠ＯＡＤ＝９０°， ∴ＯＡ⊥ＡＤ， ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径， ∴ＡＤ是⊙Ｏ的切线； （２）解：∵ＡＯ＝ＣＯ且∠ＡＯＣ＝９０°， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＣＡＯ＝４５°， 即∠Ｂ＝∠ＡＣＥ， ∵∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＣ， ∴△ＡＥＣ∽△ＡＣＢ， ∴ＡＥＡＣ＝ ＡＣ ＡＢ， ∴ＡＣ２＝ＡＥ·ＡＢ＝４０， 在Ｒｔ△ＡＯＣ中， ∵２ＯＡ２＝ＡＣ２＝４０， ∴ＡＯ＝ＣＯ＝２槡５， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＯＣ－Ｓ△ＡＯＣ＝ ９０π×（２槡５） ２ ３６０ － １ ２×（２槡５） ２＝５π－１０． ８．如图，以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ经过 ＡＣ的中点 Ｄ，ＤＥ⊥ＢＣ于点Ｅ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）当 ＡＢ＝４槡３，∠Ｃ＝３０°时，求图中阴影 部分的面积（结果保留根号和π）． 第８题图 （１）证明：连接ＯＤ，如解图， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｄ是ＡＣ的中点， ∴ＯＤ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＯＤ∥ＢＣ， ∵ＤＥ⊥ＢＣ， ∴ＯＤ⊥ＤＥ， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：如解图，过点 Ｏ作 ＯＦ⊥ＡＤ，垂足 为Ｆ， ∵ＯＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＤＡ＝∠Ｃ＝３０°， ∵ＯＤ＝ＯＡ， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝３０°， ∴∠ＡＯＤ＝１２０°， ∵ＡＢ＝４槡３， ∴ＯＤ＝２槡３，∴ＯＦ＝槡３，ＡＦ＝ＤＦ＝３， ∴ＡＤ＝６， ∴Ｓ△ＡＯＤ＝ １ ２ＡＤ·ＯＦ＝ １ ２×６×槡３＝３槡３， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＯＤ－Ｓ△ＡＯＤ＝ １２０π×（２槡３） ２ ３６０ － ３槡３＝４π－３槡３                                                                        ． ８３ ５行卷·贵州数学 ９．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，以ＡＢ为 直径的⊙Ｏ交 ＡＣ于点 Ｄ，Ｅ是 ＢＣ的中点， 连接ＤＥ，ＢＤ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＤＥ＝４，ｓｉｎＣ＝３５，求ＢＤ的长． 第９题图 （１）证明：连接ＯＤ，如解图， ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°， ∴∠ＢＤＣ＝９０°， ∵点Ｅ为ＢＣ的中点， ∴ＤＥ＝ＢＥ， ∴∠ＥＤＢ＝∠ＥＢＤ， ∵ＯＢ＝ＯＤ， ∴∠ＯＤＢ＝∠ＯＢＤ， ∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＥＢＤ＋∠ＯＢＤ＝９０°， ∴∠ＯＤＢ＋∠ＥＤＢ＝９０°， ∴∠ＯＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＯＤ， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：由（１）知，∠ＢＤＣ＝９０°， ∵Ｅ是ＢＣ的中点， ∴ＤＥ＝１２ＢＣ＝４， ∴ＢＣ＝８， ∵ｓｉｎＣ＝ＢＤＢＣ＝ ３ ５， ∴ＢＤ＝８×３５＝ ２４ ５． １０．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是 ) ＡＢ的中点，连接 ＯＣ并延长到 Ｅ，交 ＡＢ于点 Ｄ，连接 ＯＡ、 ＢＥ、ＢＣ，且∠Ａ＝∠Ｅ． （１）求证：ＢＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＯＡ＝５，ＣＤ＝２，求ｔａｎ∠ＣＢＥ的值． 第１０题图 （１）证明：连接ＯＢ，如解图， ∵Ｃ是 ) ＡＢ的中点， ∴ＯＥ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＤＥ＝９０°， ∴∠Ｅ＋∠ＤＢＥ＝９０°， ∵ＯＡ＝ＯＢ， ∴∠Ａ＝∠ＯＢＤ， 又∵∠Ａ＝∠Ｅ， ∴∠ＯＢＤ＝∠Ｅ， ∴∠ＯＢＤ＋∠ＤＢＥ＝９０°， 即∠ＯＢＥ＝９０°， ∴ＯＢ⊥ＢＥ， ∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径， ∴ＢＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：由（１）可知∠ＡＤＯ＝∠ＥＤＢ＝９０°， 又∵∠Ａ＝∠Ｅ， ∴∠ＡＯＤ＝∠ＤＢＥ， ∵∠ＣＢＤ＝１２∠ＡＯＤ， ∴∠ＣＢＤ＝１２∠ＤＢＥ， ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＢＤ， ∵ＯＢ＝ＯＡ＝５，ＯＤ＝ＯＣ－ＣＤ＝５－２＝３， ∴ＢＤ＝ ＯＢ２－ＯＤ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４， ∴ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ｔａｎ∠ＣＢＤ＝ＣＤＢＤ＝ ２ ４＝ １ ２                                                                        ． ９３ ５行卷·贵州数学 １１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝９，ＣＡ＝１２， ∠ＡＢＣ的平分线Ｂ