2024年九年级数学中考二轮复习 相似三角形综合压轴题 专题提升训练

2024年九年级数学中考二轮复习  相似三角形综合压轴题 专题提升训练 1．【阅读】如图1，若，且点B、D、C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． (1)【理解】如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． (2)【应用】如图3，与是旋转相似三角形，，求证：①；②； (3)【拓展】如图4，是四边形的对角线，，，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 2．综合与实践  已知矩形，，，点E在边上，，连接、. (1)如图1，图中共有相似三角形______对； (2)如图2，将沿着平移，使点C与点B重合，得到，并将绕点B顺时针旋转，连接、，当旋转到如图3所示位置时，写出与相似的三角形，无需证明. (3)如图4，在（2）的条件下，若直线与直线相交于点H， ①与的位置关系为______，请证明你的猜想. ②在旋转过程中，当四边形为矩形时，线段的长为______. 3．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”． (1)如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“和谐四边形”的是______． (2)如图2，平分，，，四边形是被分割成的“和谐四边形”，求长； (3)如图3，A为抛物线的顶点，抛物线与轴交于点B，C．在线段上有一个点，在射线上有一个点Q．P、Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从出发分别沿BA，BC方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 4．定义： 若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形， 则称这个四边形 为 “友好四边形” ．我们熟知的平行四边形就是 “友好四边形” ． (1)如图1， 在的正方形网格中有一个Rt ， 请你在网格中找格点， 使得四边形是被分割成的“友好四边形” （只要画出点的一种位置） (2)如图2， 平分， 四边形是被分割成的 “友好四边形， 求长； (3)如图3， 圆内接四边形中， ， 点是的中点， 连接交 于点， 连接 ①求证： 四边形是“友好四边形” ； ②若的面积为， 求线段的长． 5．如图1，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长． 小明在看到这个问题后，联想所学数学知识，经过分析：认为求线段的长，通常把要求的线段放在一组相似三角形中，进而求解，于是添加了如图2所示的辅助线，最后使问题得以解决． (1)请根据图2，先叙述辅助线的作法，然后证明： ①△EDH≌△EFH； ②△EDH∽△BAE； (2)求CG的长． 6．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②． (1)图②中，∠CMD＝__________；线段NF＝__________． (2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明． 剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图③、图④． (3)图③中，阴影部分的周长为__________． (4)图③中，若∠GN＝80°，则∠HD＝__________°． (5)图③中，相似三角形（包括全等三角形）共有__________对． (6)如图④，点落在边ND上，若N＝2 D，则__________． 7．探究与应用：在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模块”化.例如在相似三角形中，“K”字形是非常重要的基本图形 . (1)如图①，已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE； (2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： ①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，则此时点B的坐标为 ； ②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标. 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝10，AC＝8． (1)图1中共有 　 　对相似三角形，除直角外，写出其余相等的角 　 　（不需证明）； (2)已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长； (3)在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立