重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

秘密★启用前 重庆一中高2025届高二下期中考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A.极差 B.平均数 C.中位数 D.方差 2.已知M为双曲线上一动点，则M到点和到直线的距离之比为（ ） A.1 B. C. D.2 3.对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数为（ ） A.36 B.72 C.144 D.288 5.已知在区间上有最小值，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：则（ ） A.， B.， C.， D.（， 7.在满足，的实数对中，使得成立的正整数n的最大值为（ ） A.15 B.16 C.22 D.23 8.某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布.对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（ ） 附：，， A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ） A. B.展开式中的常数项为-32 C.展开式中的系数为160 D.展开式中无理项的系数之和为-242 10.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： 1 2 3 4 5 0.5 0.8 1 1.2 1.5 假设经验回归方程为，则（ ） A. B.当时，y的预测值为2.2 C.样本数据y的40%分位数为0.8 D.去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变 11.已知函数，则（ ） A.的零点为， B.的单调递增区间为， C.当时，若恒成立，则 D.当时，过点作的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X，则___________. 13.对于定义在非空集D上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是__________. 14.已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，为等腰直角三角形，A为直角，若这样的有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 数列满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求正整数，使得. 16.（15分） 已知点，在抛物线上. （1）若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离； （2）若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积. 17.（15分） 为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的.“生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%.记事件为“前k人中没有人生日相同”，其中. （1）证明：； （2）直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于50%. 附：. 18.（17分） 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. （1）已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，