精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期月考七数学试题

湖南师大附中2024届高三月考试卷（七） 数学 命题人：曾克平 周艳军 钱华 周煌 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合B的元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 不确定 2. 已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 6. 有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A. 60 B. 114 C. 278 D. 336 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件 C. D. 10. 已知等比数列公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大正整数数的值为198 11. 在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ） A. 若M为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点P使得 C. 当时，平面截长方体所得截面的面积为 D. 若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 13. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______． 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，设为前n项和，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和 16. 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设“患有地方性疾病”，“卫生习惯良好”.据临床统计显示，，该地人群中卫生习惯良好的概率为. （1）求和； （2）为进一步验证（1）中判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定的最小值. 附表及公式： 0.10 0.05 0.010 0005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知. （1）若的最小值为，求的值； （2