基底法求解平面向量 讲义——2024届高三数学二轮专题复习

基底法解决向量问题 例1．如图：在中，点为边上靠近B点的三等分点，过的中点O作动直线，分别交边和边于N，M两点，，则的最小值为 解析：因为三点共线，所以存在实数使得， 由且， 可得，即， 又因为是边上靠近点的三等分点， 所以， 则，消去，可得， 因为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 例2．如图，在中，是的中点，点N在边上，且，与相交于点，设，则 ； .（注：用和来表示） 解析：因为是的中点，， 所以， 设， 则 ， 设，则， 所以，解得， 所以. 故答案为：； 例3．如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量    【答案】 解析：易知，显然； 可得； 故答案为： 例4．如图，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与边AB，AC分别交于M，N两点，且＝x，＝y.若x＝，则y＝ ；若S△AMN＝S△ABC，则x＋y＝ ． 【答案】 1 2 解析：根据条件得＝，＝，又＝＋，∴＝＋.又M，G，N三点共线，∴＋＝1.∵ x＝，∴ y＝1.∵ S△AMN＝S△ABC，∴ 例5．如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .    【答案】 解析： 由题意可得，， 所以，所以. 故答案为：. 例6．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 解析：由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 例7．如图，在中，，于点，为的中点．若，则 .    【答案】 解析：在中，，∴， 又因为，可得； 可得， ∵为的中点， 所以，由， 因此. 故答案为： 例8．已知平面四边形满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则 . 【答案】/ 解析：平面四边形中，，则，又，则， 因此，即， ， 而不共线，所以，. 故答案为：    例9．如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则 ． 【答案】/ 解析：． 故． 故答案为：. 例10．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则 . 【答案】 解析：】如下图所示： 因为，则，可得， 所以，为的中点，又因为为的中点， 则， 同理可得， 所以，， 因为、不共线，则，解得，故. 故答案为：. 变式练习 1．设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 2．已知是两个不共线的向量，若，且，则 ． 3．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 4．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ． 5．在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 . 6．如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ． 7．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为 ，若，的面积为，则的最小值为 . 8．如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    9．已知中，D为的中点，，若，则 . 10．如图，在中，，是正三角形，点是的中心，若， 则 11．如图，已知为等边三角形，点 G是的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段 AC交于点设，，且设的周长为，的周长为，设，记，则 ，的值域为 . 12．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．    13．如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则 ；若为边长等于2的正三角形，则 .    14．如图，在平面四边形中，，，延长交的延长线于点，若，则 .    15．在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．    变式练习答案 1． 【答案】 解析：设，因为， 所以，因为不共线， 所以，解得，， 故答案为：. 2 解析：由题意，且是两个不共线的向量， 所以，所以. 故答案为：. 3 【答案】 解析：因为，所以， 所以， 因为P，B，N三点共线，所以，解得. 故答案为：. 4． 解析：如图所示， 由为边的中点，得到，而， 因此， 所以， 因为，得， 因为，设（），所以， 所以，即． 因为与不共线，所以，得，故． 故答案为：. 5． 【答案】 解析：由题意： 由三点共线知，. ， 消去，得. 故答案为： 6． 【答案】18 解析：】因为平行四边形中，， 所以，，