解析几何中角的翻译处理 讲义——2024届高三数学二轮复习

解析几何中角的翻译 锐角、钝角和直角 (1) 如果是锐角, 那么, 所以; (2) 如果是锐角, 那么, 所以. 例 1在平面直角坐标系中, 已知椭圆, 右焦点为, 直线交椭圆于两点. 设, 若为锐角, 求实数的取值范围. 解析 设点, 则,联立直线方程与椭圆方程整理得,由韦达定理得因为为锐角, 所以, 所以 整理得, 解得得. 所以实数的取值范围为. 例 2 在平面直角坐标系中, 已知椭圆. 设直线交椭圆于两点, 判断点与以线段为直径的圆的位置关系, 并说明理由. 分析目标发现. 根据条件对称必有韦达定理整体代换, 先联立直线方程与椭圆方程, 再利用韦达定理, 可得, 说明恒为锐角, 所以可得到点恒在以线段为直径的圆外. 解析联立直线方程与椭圆方程得 .由韦达定理得, 所以. 将(1)(2)(3)三式代入上式得 恒成立. 故恒为锐角, 即点恒在以线段为直径的圆外. 总结 这两道例题都涉及锐角, 涉及钝角和直角的处理手法也都是转化为向量数量积与 0 的大小关系, 在此就不举例说明了. 相等角问题 当我们遇见已知两角相等或者欲证两角相等的题目时, 往往与角平分线有关.最常见的是角平分线所在直线为或者的情况. 例 3 在平面直角坐标系中, 圆与轴正半轴相交于两点 (点在点的左侧), 过点任作一条直线与椭圆交于两点, 连接, 求证:. 分析要证, 就得求出两点的坐标. 在圆中, 令, 得或, 从而有.发现轴将分割为了和. 在平面解析几何中, 除了向量会涉及角, 即, , 即直线的倾斜角互补, 而两个互补角的正切值互为相反数, 即两直线的斜率互为相反数. 要证, 即证因为, 即证(根据三角函数诱导公式) 即证. 即证. 即证, 解析 令方程中, 解得或, 即. (1) 当轴时, 由椭圆的对称性可知. (2) 当与轴不垂直时, 可设直线的方程为. 由韦达定理得，. 要证, 即证, 将(1)(2)两式代入上式, 可得, 所以. 综上所述,. 例 4 在平面直角坐标系中, 过点的动直线交椭圆于两点, 在轴上是否存在与点不同的定点, 使得直线和的倾斜角互补? 若存在,求出点的坐标; 若不存在, 请说明理由. 分析和的倾斜角互补, 即两直线的斜率互为相反数. 设, 直线的方程为(斜率不 存在时三点共线, 点不与点重合即可满足题意). 由直线和的倾斜角互补, 可知分离后得. 联立直线方程与椭圆方程, 再利用韦达定理可得, 即.因为上式对任意均成立, 所以, 所以定点的坐标为. 解析 设点的坐标为, (1) 当直线与轴垂直时, 直线与的倾斜角均为, 满足题意, 此时, 且. (2) 当直线的斜率存在时, 可设直线的方程为, 联立得 由韦达定理得 因为直线和直线的倾斜角互补, 所以, 所以, 即, 整理得, 将(1)(2) 两式代入上式得. 因为上式对任意均成立, 所以, 所以点的坐标为. 综上, 存在与点不同的定点满足题意. 总结 只要角平分线所在直线平行或者垂直于坐标轴, 我们都可以得到角两边所在直线的斜率互为相反数. 例 5 在平面直角坐标系中, 设过点的直线分别与抛物线交于两点,的平分线垂直于轴, 证明: 直线的斜率为定值. 解析 由的平分线垂直于轴, 可知直线与的倾斜角互补, 所以.设, 则, 显然也是抛物线上一点, 同理可得. 所以由, 得, 化简为, 因此, 即直线的斜率为定值 -1 . 例 6 在平面直角坐标系中,分别为双曲线的左、右焦点, 动点,在双曲线的右支上, 且的平分线与轴、轴分别交于两点, 设过点的直线与双曲线交于两点.求面积的最大值. 解析 由已知得, 则直线的方程为, 直线的方程为, 即直线的方程为, 直线的方程为. 由点在的平分线上, 得. 由, 以及, 解得. 所以, 所以, 解得, 所以直线的方程为. 令, 得, 即点, 所以直线的斜率 所以直线的方程为, 联立直线方捏与双曲线方程得,此时.设, 由韦达定理得 所以. 由, 可得, 所以. 根据题意可知设, 则 所以当, 即时,的面积最大, 最大值为. 例 7 在平面直角坐标系中, 设椭圆的左、右顶点分别为, 左、右焦点分别为, 过分别作轴的垂线, 椭圆的一条切线与,分别交于两点.求证:. 分析 要证, 只需先判断一下这两个角是否为直角,我们可以通过特殊情况观察出两角为直角. 由已知得直线的方程为, 直线的方程为, 所以. 所以. 联立直线方程与椭圆方程, 由直线与椭圆相切得, 所以, 即. 解析 由已知得直线的方程为, 直线的方程为, 同理可得. 联立直线的方程与椭圆方程得 由直线与椭圆相切得, 化简得, 所以, 即. 所有两角相等 例 8 在平面直角坐标系中, 已知直线过点并交抛物线于两点, 且, 直线与轴交于点, 试探究与的夹角是否为定值,若是,