2024年广东数学中考复习：最短路径问题（将军饮马）专题

广东中考复习：最短路径问题（将军饮马）专题 最短路径问题（将军饮马） 一、常见类型： 1. 求线段和最小 2.求三角形周长最小 3.四边形周长最小 4.求线段和最小或周长最小时动点坐标 二、解题步骤： 1、求线段和或周长最小 ①.找两个定点与一个动点 ②.作一定点关于动点所在直线的对称点，再连接对称点与另一个定点 ③.对称点与另一个定点距离（勾股定理）为最短路径 2、求动点坐标 ①.找两个定点与一个动点 ②.作一定点关于动点所在直线的对称点，再连接对称点与另一个定点 ③.求对称点与另一定点所在直线解析式 ④.求动点坐标 一、解答题 1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题. 如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答． （1）理由：如图③，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=_______，C′B=_______. ∴AC+CB=AC+CB′=_______． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小. 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）． 本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． （2）模型应用 ①如图 ④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点，求EF+FB的最小值. 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是_______． ②如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是_______； ③如图⑥，一次函数y=-2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标． 2．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 3．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为 ． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点(﹣1，12)． (1)求此二次函数的解析式； (2)该抛物线交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标． 5．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，为顶点，点关于直线的对称点为． （1）如图①，若点是对称轴上的动点，当取得最小值时，求点的坐标． （2）如图②，连接，点是轴上一动点，求周长的最小值； （3）如图③，点是轴上的动点，点是轴上的动点，是否存在点、，使四边形的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 二、巩固练习 1．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值= ． 2．已知二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示）,与y轴交于点C,点P是其对称轴上一动点,当PB+PC取得最小值时,点P的坐标为 3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点，点是抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线经过、两点，与轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值; （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东中考复习：最短路径问题（将军饮