精品解析：湖南省“一起考”大联考2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题（一）

2024届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 命题人：长郡中学 毛 水 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若为纯虚数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（ ） A B. C. D. 4. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度） A. B. C. D. 5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，面积为的扇形中，分别在轴上，点在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 四面体外接球的体积与正方体的体积之比为 11. 玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，则__________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 14. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）证明：是锐角三角形； （2）若，求面积． 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中． （1）证明：平面BCD； （2）求平面BCD和平面ABF的夹角的余弦值． 17. 已知函数，. （1）若的极大值为1，求实数a的值； （2）若，求证：. 18. 某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 观点 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 （1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为. （1）求双曲线E的标准方程； （2）若l交y轴于点P，，，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 命题人：长郡中学 毛 水 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若为纯虚数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算和纯虚数的概念求解即可. 【详解】因为，且为纯虚数， 所以解得， 故选：A． 2. 已知与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分