抢分秘籍13 二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）

抢分秘籍13 二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题 （压轴通关） 目录 【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等） 二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。 2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！ 题型一 二次函数中求线段的最值问题 【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键． 【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点． (1)求点，的坐标； (2)随着点在线段上运动． ①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式； (2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值； (3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题 【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，且，连接，． (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，求的最小值． 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称