抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（4题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）

抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题 （压轴通关） 目录 【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等） 几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。 2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！ 题型一 线段最值问题 【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．    (1)求的长度； (2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形． ①当时，试求的长度； ②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形. 【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，． (1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)． 1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ． 2．（2024·重庆·一模）在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． (1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点． ①如图1，若，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：． (2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 3．（2024·陕西西安·一模）问题提出： （1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为__________． 问题探究： （2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点为点，求的最小值． 问题解决： （3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离． 4．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】 （1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 题型二 线段和的最小值问题 【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】 （3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键． 【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形． (1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________； (2)【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将