第29课 二项分布、超几何分布与正态分布-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第29课 二项分布、超几何分布与正态分布 普查与练习29Ⅰ　　　　二项分布与超几何分布 1．二项分布 a．定模型求概率及数字特征 (1)(2023汇编，10分)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响． ①在一次活动中，甲获胜的概率为____，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为____；(2021天津) ②若每次活动胜者会得到60元奖励，X为5次活动中乙得到奖励的总数，则D(X)＝__580__． 解析：①一次活动中，要使甲获胜，则甲猜对且乙猜错的概率为×＝. 3次活动中，设甲获胜的次数为Y，则Y服从二项分布，即Y～B， 所以甲至少获胜2次的概率为P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C××＋3＝. ②一次活动中，要使乙获胜，则乙猜对且甲猜错的概率为×＝. 5次活动中，设乙获胜的次数为Z，则Z服从二项分布，即Z～B，所以乙获胜的方差为D(Z)＝5××＝. 根据题意，X＝60Z，所以D(X)＝D(60Z)＝3600D(Z)＝3600×＝580. (2)(2019天津，13分)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假设甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (Ⅰ)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； 答案： X 0 1 2 3 P E(X)＝2 解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，所以X～B，(2分)所以P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.(3分) 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (5分) 随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.(7分) (Ⅱ)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 答案： 解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B， 且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．(10分) 由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥， 且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立， 从而由(Ⅰ)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}) ＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0) ＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0) ＝×＋×＝.(13分) b．求随机变量概率的最值 (3)(2021山东泰安三模，12分)俗话说：“天上蟠桃，人间肥桃．”肥桃又名佛桃、寿桃，因个大，味美，营养丰富，被誉为“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培历史，自明朝起即为皇室贡品．七月份，肥城桃——“大红袍”上市了，它满身红扑扑的，吃起来脆脆甜甜，感觉好极了，吸引着全国各地的采购商． 山东省肥城桃开发总公司从进入市场的“大红袍”中随机抽检100个，利用等级分类标准得到数据如下表： 等级 A级 B级 C级 个数 40 40 20 (Ⅰ)以表中抽检的样本估计全市“大红袍”等级，现从全市上市的“大红袍”中随机抽取10个，若取到k个A级品的可能性最大，求k的值； 答案：k＝4 解：由题意可知，从全市上市的“大红袍”中随机抽取1个，取到A级品的概率为P＝＝.(1分) 设从全市上市的“大红袍”中随机抽取10个，取到A级品的个数为随机变量X， 则X～B，∴P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0，1，2，3，…，10)． 令 得 解得≤k≤，∴当k＝4时概率最大，∴k＝4.(5分) (Ⅱ)一北京连锁超市采购商每年采购A级“大红袍”，前20年“大红袍”在此超市的实际销量统计如下表： 销量(吨) 15 16 17 18 19 20 年数 2 4 5 6 2 1 今年A级“大红袍”的采购价为0.8万元/吨，超市以1.6万元/吨的价格卖出，由于桃不易储存，卖不完当垃圾处理．超市计划今年购进17吨或18吨“大红袍”，你认为应该购进17吨还是18吨？请说明理由． 答案：17吨，理由见解答过程 解：设超市购进17吨“大红袍”时，卖出的吨数为X1，利润为ξ1， 则X1的可能取值为15，16，17，且ξ1＝(1.6－0.8)X1－0.8× (17－X1)＝1.6X1－13.6. ∵P(X1＝15)＝＝， P(X1＝16)＝＝， P(X1＝17)＝1－－＝， ∴X1的分布列为 X1 15 16 17 P ∴E(X1)＝15×＋16×＋17×＝16.6， ∴E(ξ1)＝1.6E(X1)－13.6＝12.96.(8分) 设超市购进18吨“大红袍”时，卖出的吨数为X2，利润为ξ2， 则X2的可能取值为15，16，17，18，且ξ2＝(1.6－0.8)·X2－0.8×(18－X2)＝1.6X2－14.4. ∵P(X2＝15)＝， P(X2＝16)＝， P(X2＝17)＝＝， P(X2＝18)＝1－－－＝， ∴X2的分布列为 X2 15 16 17 18 P ∴E(X2)＝15×＋16×＋17×＋18×＝17.05， ∴E(ξ2)＝1.6E(X2)－14.4＝12.88.(11分) ∵E(ξ2)<E(ξ1)，即以样本估计总体可知购进17吨“大红袍”利润高于购进18吨， ∴超市应该购进17吨“大红袍”．(12分) 2．超几何分布 (4)(2021浙江，6分)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ.若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝__1__，E(ξ)＝____．　 解析：根据题意可知P(ξ＝2)＝＝＝，即C＝36， 即＝36， 即(m＋n＋4)(m＋n＋4－1)＝72＝9×8. 又m＋n＋4>0，所以m＋n＋4＝9. 因为P(一红一黄)＝＝＝＝， 所以m＝3，所以n＝2, 所以m－n＝1. 把黄球和绿球看作一组，红球单独看作一组， 则取出的红球数ξ服从参数为N＝9，M＝4，n′＝2的超几何分布，所以E(ξ)＝＝. (5)(2021北京三模，15分)某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1，2，3三道工序，工序1，2，3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时按每小时10元进行补贴．记加工原料i时工艺师乙、丙获得的总补贴为ai(i＝1，2，…，6)(单位：元)，例如：加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则a1＝80，已知完成各工序所需时长(小时)如表： 原料工序 原料1 原料2 原料3 原料4 原料5 原料6 工序1 1 1 2 3 2 4 工序2 6 4 3 1 4 1 工序3 5 3 4 6 3 2 由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时，记此时加工原料i时工艺师乙、丙获得的总补贴为bi(i＝1，2，…，6)(单位：元)，例如：b1＝70. (Ⅰ)从6件原料中任选一件，求ai＞bi(i＝1，2，…，6)的概率； 答案： 解：设“从6件原料中任选一件，ai＞bi”为事件A. 根据题意，加工原料i时工艺师乙、丙获得的总补贴如下表： 原料 总补贴 1 2 3 4 5 6 ai 80 60 70 70 80 90 bi 70 50 70 70 70 70 当i＝1，2，5，6时，ai＞bi，∴P(A)＝＝.(5分) (Ⅱ)从6件原料中任选三件，记X为满足“ai＞bi(i＝1，2，…，6)”的件数，求X的分布列及数学期望； 答案：分布列见解答过程，E(X)＝2 解：X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P (10分) ∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.(12分) (Ⅲ)记数据ai(i＝1，2，…，6)的方差为s，数据bi(i＝1，2，…，6)的方差为s，试比较s，s的大小．(只需写出结果) 答案：s>s 解：s>s.(15分) 理由：方差刻画了一组数据的离散程度，由(Ⅰ)中表格可知，数据ai的各值相差较大，故其方差较大． 随堂普查练29Ⅰ 1．(2021湖北模拟，12分)随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等视频自媒体APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园、各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等． (1)记ξ表示发过抖音视频的人数，求ξ的分布列； 答案：见解答过程 解：由题意知，随机变量ξ～B，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， ∴P(ξ＝0)＝C×＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C××＝， P(ξ＝3)＝C×＝， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (6分) (2)随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过n(n∈N*)次，其中n小于当次调查的总人数，在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为η，求η的数学期望． 答案：E(η)＝ 解：依题意，η的所有可能的值是0，1，2，…，n. 设抽到的没发过抖音视频的人数为k， 当0≤k≤n－1时，P(η＝k)＝·； 当k＝n时，P(η＝k)＝， ∴E(η)＝0×＋1××＋2××2＋…＋(n－1)××n－1＋nn①，(9分) 则E(η)＝1××2＋2××3＋…＋(n－1)××n＋nn＋1②， ①－②得，E(η)＝×＋×2＋…＋×n－1＋n－nn＋1， 即E(η)＝－n＋n＝，∴E(η)＝.(12分) 2．(2021陕西模拟节选，8分)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期 (单位：天) [0，2] (2，4] (4，6] (6，8] (8，10] (10，12] (12，14] 人数 85 205 310 250 130 15 5 (1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 答案：5.4天 解：＝1×0.085＋3×0.205＋5×0.31＋7×0.25＋9×0.13＋11×0.015＋13×0.005＝5.4.(2分) (2)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少？ 答案：潜伏期超过6天的人数最有可能是8 解：用频率估计概率，则患者潜伏期超过6天的概率为＝＝. 设潜伏期超过6天的人数为X，则X～B， ∴P(X＝k)＝C 且0≤k≤20，k∈N.(4分) 令 得 解得≤k≤，∴k＝8，即潜伏期超过6天的人数最有可能是8.(8分) 3．(2021天津河西区二模，5分)现有高三年级学生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，从这7人中随机抽取3人作进一步身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠不足的学生人数，则随机变量X的数学期望为____；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件A发生的概率为____． 解析：根据题意，随机变量X服从参数N＝7，M＝4，n＝3的超几何分布，故E(X)＝＝. 事件A包括两种情况：有一人睡眠不足而另外2人睡眠充足；有2人睡眠不足而另外1人睡眠充足，∴P(A)＝＝. 4．(经典题，12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； 答案： 解：记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P(M)＝＝.(5分) (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)． 答案： X 0 1 2 3 4 P E(X)＝2 解：由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (10分) X的数学期望是E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＋3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.(12分) 普查与练习29Ⅱ　　　　正态分布 3．正态分布 a．正态曲线的应用 (6)(2021新高考Ⅱ，5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　D　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等 解析：σ越小，即标准差和方差越小，该正态分布的物理量越集中在均值附近，所以落在(9.9，10.1)内的概率越大．故A正确． 因为均值为10，所以根据正态曲线的性质，可知正态曲线关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10和小于10的概率相等，都为0.5.故B正确． 因为9.99与10.01关于直线x＝10对称，所以根据正态曲线的性质，可知测量结果小于9.99和大于10.01的概率相同．故C正确． 区间(9.9，10.2)与(10，10.3)不关于直线x＝10对称，所以测量结果落在两个区间内的概率不同．故D错误． 故选D. (7)(2023改编，5分)已知随机变量X～N(0.4，σ)，Y～N(0.8，σ)，其正态曲线如图所示， 下列说法中错误的有__②④__． ①P(X≥0.4)＝P(Y≥0.8)； ②σ1>σ2； ③两支正态曲线与x轴之间的面积均为1； ④对于任意的负数t，有P(X≤t)＞P(Y≤t)； ⑤存在t＞0，满足P(X≤t)＝P(Y≤t)． 解析：①由已知得μ1＝0.4，μ2＝0.8，所以P(X≥0.4)＝P (Y≥0.8)＝0.5，①正确； ②因为正态曲线X～N(0.4，σ)比正态曲线Y～N(0.8，σ)更“瘦高”，所以σ1<σ2，②错误； ③由正态曲线的特点可知，两支正态曲线与x轴之间的面积均为1，③正确； ④对于任意的负数t，直线x＝t左侧X的正态密度曲线所含面积小于Y的正态密度曲线所含面积，故有P(X≤t)<P(Y≤t)，④错误；　 ⑤由图可知，当t＝0时，P(X≤t)<P(Y≤t)；当t＝0.4时，0.5＝P(X≤t)>P(Y≤t)，所以存在t∈(0，0.4)，使得P(X≤t)＝P(Y≤t)，⑤正确． 故答案为②④. (8)(2023汇编，15分)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)． ①若μ＝2，P(0<X<2)＝0.4，则P(X>4)＝__0.1__； ②若μ＝4，实数a满足P(X＜3a＋2)＝P(X＞2a－1)，则a的值是____； ③若σ2＝7，P(X<2)＝P(X>4)，则μ＝__3__，D(X)＝__7__． 解析：①由题意得，随机变量X的正态曲线的对称轴方程为x＝2.又P(0<X<2)＝0.4，所以P(2<X<4)＝0.4，所以P(X>4)＝0.5－P(2<X<4)＝0.1. ②由题意得，随机变量X的正态曲线的对称轴方程为x＝4.又实数a满足P(X＜3a＋2)＝P(X＞2a－1)，所以＝4，即a＝. ③因为P(X<2)＝P(X>4)，所以随机变量X的正态曲线关于直线x＝＝3对称，所以μ＝3.因为σ2＝7，所以D(X)＝7. b．3σ原则的应用 (9)(2021江苏连云港一模，5分)中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为(　D　) (参考数据：P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973) A．208 B．206 C．204 D．202 解析：设参赛学生的成绩为X. ∵X～N(80，100)，∴μ＝80，σ＝10，则P(X≥90)＝P(X≤70)＝[1－P(70<X<90)] ＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)] ≈×(1－0.6827)＝0.15865，∴参赛的学生总数为≈202. 故选D. (10)(经典题，12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)． (Ⅰ)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； 答案：P(X≥1)≈0.0423，E(X)＝0.0432 解：由题可知，抽取的一个零件的尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9973，所以落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0027，故X～B(16，0.0027)． 所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈1－0.9577＝0.0423. X的数学期望E(X)＝16×0.0027＝0.0432.(4分) (Ⅱ)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； 答案：见解答过程 解：如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0027，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0423，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(7分) (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得＝＝9.97，s＝，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1,2，…，16. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查；剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9973，0.997316≈0.9577，≈0.09. 答案：需对当天的生产过程进行检查＝10.02，≈0.09 解：由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.(10分) ,剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.(12分) c．正态分布标准化的应用 (11)(2021陕西西安模拟，12分)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及以上的高分考生30名． (Ⅰ)求最低录取分数(结果保留为整数)； 答案：267 解：设考生的成绩为X，则由题意可得X服从正态分布，即X～N(180，σ2)． 令Y＝，则Y～N(0，1)． ∵360分及以上的高分考生有30名， ∴P(X≥360)＝＝， ∴P(X<360)＝1－＝0.985， ∴P＝0.985， ∴≈2.17，解得σ≈83， ∴X～N(180，832)．(4分) 设最低录取分数为x0， 则P(X≥x0)＝P＝＝， ∴P＝1－＝0.85， ∴≈1.04，解得x0≈266.32，即最低录取分数为267.(8分) (Ⅱ)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，则他能否获得高薪职位？请说明理由． 参考资料：(ⅰ)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)； (ⅱ)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 答案：能，理由见解答过程 解：∵考生甲的成绩286＞267，∴他能被录取． ∵P(X<286)＝P＝P(Y<1.28)≈0.90， ∴不低于考生甲的成绩的人数大约为2000×(1－0.90)＝200， 即考生甲大约排在第200名，故排在前275名， ∴能被录取为高薪职位．(12分) 随堂普查练29Ⅱ 1．(2021江苏南通期末，5分)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，且株高的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，则下列说法正确的是(　A　) A．该地水稻的平均株高为100cm B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大 解析：设水稻的株高为随机变量X，则X～N(μ，σ2)． 由正态密度函数可知μ＝100，σ2＝100，故A正确，B错误． P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C错误． P(100<X<110)＝P(90<X<100)>P(80<X<90)，故D错误． 故选A. 2．(2021山东济宁二模，5分)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)＝0.2，则P(X＜2)＝(　D　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 解析：(法一)∵μ＝1，P(X≤0)＝0.2，∴P(0≤X≤1)＝0.5－0.2＝0.3， ∴P(1≤X≤2)＝P(0≤X≤1)＝0.3，∴P(X＜2)＝0.5＋0.3＝0.8.故选D. (法二)∵μ＝1，P(X≤0)＝0.2，∴P(X≥2)＝0.2，∴P(X<2)＝1－P(X≥2)＝0.8.故选D. 3．(2020山东潍坊模拟，12分)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．已知加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品． (1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少； 答案：27 解：抽取的一个零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.9973，从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0027，因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为10000×0.0027＝27.(4分) (2)若生产的某零件为合格品，则该零件盈利；若生产的某零件为不合格品，则该零件亏损．已知每个零件的利润L(单位：元)与内径X有如下关系： L＝ 求该企业一天从生产线上随机抽取的10000个零件的平均利润． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973. 答案：56557元 解：由正态曲线的对称性可知P(X<μ－3σ)＝P(X>μ＋3σ)＝0.00135， P(μ－3σ≤X<μ－σ)＝×(0.9973－0.6827)＝0.1573， P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973－0.1573＝0.8400.(8分) 故随机抽取的10000个零件的平均利润为10000×(－5×0.00135＋4×0.1573＋6×0.8400－5×0.00135)＝56557(元)．(12分) 4．(2021江苏苏州期中，5分)《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X～N(50，256)，那么D等级的原始分最高大约为(　B　) 附：①若X～N(μ，σ2)，Y＝，则Y～N(0，1)；②当Y～N(0，1)时，P(Y≤1.3)≈0.9. A．23 B．29 C．36 D．43 解析：∵X～N(50，256)，∴μ＝50，σ＝16. 设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40. 由题可知，P(等级分≥40)＝1－(7%＋3%)＝0.9， ∴P＝0.9，∴P＝0.9， ∴－≈1.3，解得x≈29.2.故选B. 课后提分练29　二项分布、超几何分布与正态分布 A组(巩固提升) 1．(经典题，5分)抽奖箱中有15个大小一样、颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望和方差分别是(　D　) A．6，0.4 B．18，14.4 C．30，10 D．30，20 解析：设这90人中中奖的人数为X，则X服从二项分布． 由题意得，中奖的概率P＝＋＝，则X～B， 故这90人中中奖人数的期望E(X)＝90×＝30，方差D(X)＝90××＝20. 故选D. 2．(2018全国Ⅲ，5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　B　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析：由已知可得X～B(10，p)，则D(X)＝10p(1－p)＝2.4，整理得10p2－10p＋2.4＝0，解得p＝0.4或p＝0.6. 又P(X＝4)＝Cp4(1－p)6，P(X＝6)＝Cp6(1－p)4，且P(X＝4)<P(X＝6)，则Cp4·(1－p)6<Cp6(1－p)4，解得p>0.5.所以p＝0.6. 故选B. 3．(2021河北衡水模拟，5分)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X>4)＝__0.15865__． 解析：由题意得μ＝3，故P(3≤X≤4)＝P(2≤X≤4)＝0.34135. 观察下图可得，P(X>4)＝0.5－P(3≤X≤4)＝0.5－0.34135＝0.15865. 4．(2021湖南模拟，5分)已知连续型随机变量Xi～N(μi，σ)(i＝1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是(　D　) A．P(X1≤μ2)＜P(X2≤μ1) B．P(X2≥μ2)＞P(X3≥μ3) C．P(X1≤μ2)＜P(X2≤μ3) D．P(μi－2σi≤Xi≤μi＋2σi)＝P(μi＋1－2σi＋1≤Xi＋1≤μi＋1＋2σi＋1)(i＝1，2) 解析：对于选项A，P(X1≤μ2)>，P(X2≤μ1)<，∴P(X1≤μ2)＞P(X2≤μ1)，A错误． 对于选项B，P(X2≥μ2)＝，P(X3≥μ3)＝，∴P(X2≥μ2)＝P(X3≥μ3)，B错误． 对于选项C，P(X1≤μ2)>，P(X2≤μ3)＝，∴P(X1≤μ2)＞P(X2≤μ3)，C错误． 对于选项D，对于任意i＝1，2，3，P(μi－2σi≤Xi≤μi＋2σi)均表示Xi落在[μi－2σi，μi＋2σi]内的概率，该值是固定值，与μ，σ无关，D正确． 故选D. 5．(2021浙江模拟，6分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为____；设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有ξ篇，则随机变量ξ的期望E(ξ)为____．　 解析：从10篇课文中随机抽3篇，共有C＝120种可能情况，若甲能及格，则甲至少能背出2篇，有CC＋C＝80种情况，∴甲同学能及格的概率P＝＝.易知ξ服从参数为N＝10，M＝6，n＝3的超几何分布，∴E(ξ)＝＝＝. 6．(多选)(2021江苏无锡三模，5分)2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产，学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩(卷面成绩均为整数)Z服从正态分布N(82.5，5.42)，则(　ABD　)(人数保留整数) (参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)＝0.9973) A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150人 D．超过98分的人数为1人 解析：选项A：因为Z～N(82.5，5.42)，所以μ＝82.5，σ＝5.4.由正态分布的概念可知，年级平均成绩为82.5分，故A正确． 选项B：因为＝82.5＝μ，所以成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等，故B正确． 选项C：因为77≈82.5－5.4＝μ－σ，所以P(Z＜77)≈P(Z＜μ－σ)＝＝0.15865. 因为1000×0.15865≈159＞150，所以成绩不超过77分的人数多于150人，故C错误． 选项D：因为82.5＋5.4×3＝98.7≈99，所以P(Z≥99)≈P(Z≥μ＋3σ)＝＝0.00135.因为1000×0.00135≈1，所以超过98分的人数为1人，故D正确． 故选ABD. 7．(经典题，13分)10月1日，某品牌的两款最新手机(记为W型号，T型号)同时投放市场．手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位：部)，得到下表. 手机店 A B C D E W型号手机销量 6 6 13 8 11 T型号手机销量 12 9 13 6 4 (1)若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率； 答案： 解：将从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T型号手机”为M1，记事件“乙手机为T型号手机”为M2. 依题意可得，P(M1)＝＝，P(M2)＝＝，且事件M1，M2相互独立．(2分) 设“抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机”为事件M，则P(M)＝1－P(M1M2)＝1－P(M1)·P(M2)＝1－×＝，即抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为.(4分) (2)现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； 答案： X 0 1 2 P E(X)＝ 解：由表可知，W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店共有2个，故X的所有可能取值为0，1，2，(5分)则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P (8分) 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分) (3)经测算，W型号手机的销售成本η(百元)与销量ξ(部)满足关系η＝3ξ＋4.若表中W型号手机销量的方差s＝m(m>0)，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差s2的值．(用m表示，结论不要求证明) 答案：s2＝9m 解：s2＝D(η)＝D(3ξ＋4)＝9D(ξ)＝9s＝9m.(13分) 8．(2020山东潍坊一模，12分)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．春节前夕，北方一城市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下： (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 答案：26.5 解：所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数 ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(3分) (2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45]内的概率； 答案：0.6827 解：∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P(14.55<Z≤38.45)＝P(26.5－11.95<Z≤26.5＋11.95)＝0.6827， ∴Z落在(14.55，38.45]内的概率是0.6827.(5分) ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的分布列和均值． 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差为σ＝≈11.95； 若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9545. 答案： X 0 1 2 3 4 P E(X)＝2 解：由频率分布直方图知每包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的概率为10×(0.02＋0.03)＝0.5，根据题意得X～B，X的可能取值为0，1，2，3，4， ∴P(X＝0)＝C4＝， P(X＝1)＝C4＝，　 P(X＝2)＝C4＝， P(X＝3)＝C4＝，　 P(X＝4)＝C4＝. ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (10分) E(X)＝4×＝2.(12分) 9．(2021山东日照模拟，12分)青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时服务中增设800米跑活动．据统计，该校800米跑优秀率为3%，为试验某种训练方式，校方决定从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，若这10人中至少有2人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，认为该训练方式无效． (1)已知训练结束后有5人800米跑达到优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望； 答案：分布列见解答过程，E(X)＝1 解：X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (4分) 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.(6分) (2)如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性． (参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 答案：p＝，解释见解答过程 解：该训练方式无效的情况有：10人中有1人800米跑达到优秀；10人中有0人800米跑达到优秀，所以通过试验该训练方式被认定无效的概率 p＝C××＋C××＝≈0.01<5%， 故可认为该训练方式无效事件是小概率事件，从而认为该训练方式有效， 故该试验方案合理．(12分) 10．(2021北京海淀区模拟，15分)某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如表： 月收入 (单位：百元) [30， 50) [50， 70) [70， 90) [90， 110) [110， 130) [130， 150) 调查人数 500 1000 1500 1000 500 500 赞成人数 400 800 1200 414 99 87 (1)若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率； 答案： 解：由数据可知，在抽调的5000名市民中，对“楼市限购令”赞成的人数有400＋800＋1200＋414＋99＋87＝3000名，用频率估计概率，则从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，该市民赞成“楼市限购令”的概率P＝＝.(3分) (2)依据上表中的数据，若从该市工薪阶层中随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X，求X的分布列和数学期望； 答案：分布列见解答过程，E(X)＝ 解：由(1)知，市民赞成“楼市限购令”的概率为P＝. 记赞成“楼市限购令”的人数为X，则X～B， X的可能取值为0，1，2， 所以P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (8分) 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分) (3)从抽调的收入在[30，50)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为X1，期望记作E(X1)；从抽调的收入在[50，90)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为X2，期望记作E(X2)，比较E(X1)与E(X2)的大小关系．(直接写出结论即可) 答案：E(X1)＝E(X2) 解：E(X1)＝E(X2)．(15分) 理由：从收入在[30，50)(百元)的市民中随机选取一名市民，该市民赞成“楼市限购令”的概率P＝＝； 从收入在[50，90)(百元)的市民中随机选取一名市民，该市民赞成“楼市限购令”的概率P＝＝， 所以X1～B，X2～B， 所以E(X1)＝E(X2)． B组(冲刺满分) 11．(2021湖南株洲模拟，5分)高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式．已知某市市郊乘车前往高铁站有①、②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(50，100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(60，16)．若住同一地方的甲乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲、乙选择的路线分别是(　B　) A．①、② B．②、① C．①、① D．②、② 解析：设X为甲到达车站的时间， 若甲选择路线①，则X～N(50，100)，P(X≤70)＝Φ＝Φ(2)； 若甲选择路线②，则X～N(60，16)，P(X≤70)＝Φ＝Φ(2.5)． ∵Φ(2)＜Φ(2.5)，∴甲走路线②按时到达车站的可能性更大． 设Y为乙到达车站的时间， 若乙选择路线①，则Y～N(50，100)，P(Y≤64)＝Φ＝Φ(1.4)； 若乙选择路线②，则Y～N(60，16)，P(Y≤64)＝Φ＝Φ(1)． ∵Φ(1.4)＞Φ(1)，∴乙走路线①按时到达车站的可能性更大． 故选B. 12．(2021山东模拟，12分)由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检．通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多，为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质．通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图． (1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人． ①若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在[8，9)(单位：h)的概率； 答案： 解：由频率分布直方图可知，从到活动中心参加活动的老人中任意选取1人，其每周活动时间在[8，9)内的概率P＝0.4×1＝. 记“任意选取的5人中，至少有3人每周活动时间在[8，9)(单位：h)”为事件A， 则.(3分) ②若抽取的5人中每周活动时间在[8，11](单位：h)的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在[8，11](单位：h)的人数为ξ，求ξ的分布列和期望； 答案：分布列见解答过程，E(ξ)＝ 解：由题可知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2， 则P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (5分) 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.(6分) (2)将某一老人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于0.74h时，则称该老人为“活动爱好者”．从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值．(每组数据以区间的中点值为代表) 答案：k＝2 解：参加活动的所有老人的每周活动时间的平均值为 6．5×0.06＋7.5×0.35＋8.5×0.40＋9.5×0.15＋10.5×0.04＝8.26(h)， 所以“活动爱好者”的活动时间大于等于8.26＋0.74＝9(h)，即“活动爱好者”的活动时间在[9，11]内，故以频率估计概率，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率 P＝(0.15＋0.04)×1＝0.19.(8分) 设从参加活动的老人中随机抽取10人，抽到“活动爱好者”的人数为X，则X～B(10，0.19)，所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)10－k＝C0.19k0.8110－k，k＝0，1，2，3，…，10. 若抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大， 则 即 解得1.09≤k≤2.09，∴k＝2.(12分) 13．(2018全国Ⅰ，12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0. 答案：0.1 解：设20件产品中不合格品件数为ξ， 由题意知ξ～B(20，p)，所以f(p)＝P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)18(0<p<1)， 所以f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17] ＝C2p(1－p)17(1－p－9p) ＝C2p(1－p)17(1－10p)．(3分) 当0<p<0.1时，f′(p)>0, f(p)单调递增； 当0.1<p<1时，f′(p)<0, f(p)单调递减． 所以当p＝0.1时，f(p)取得极大值，也是最大值． 所以p0＝0.1.(6分) (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． (ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)； 答案：490元 解：设剩下的180件产品中，不合格品的数量为Z件，则Z～B(180，0.1)， 所以E(Z)＝180×0.1＝18. 因为X＝20×2＋25Z＝40＋25Z，所以E(X)＝40＋25E(Z)＝490(元)．(9分) (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 答案：应该，理由见解答过程 解：如果作检验，则检验费用为2×200＝400(元)． 如果不作检验，由(ⅰ)可知，检验费用与赔偿费用和的期望值为490元． 因为400<490，所以应该对这箱余下的所有产品作检验．(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$